第1章 剛體力學(xué)基礎(chǔ) 物體的彈性
一、內(nèi)容提要
1.剛體的定軸轉(zhuǎn)動
定軸轉(zhuǎn)動的剛體，角位移隨時間變化的方程稱為剛體的運動方程，即
θ ＝ θ（ t）
剛體角位移θ 隨時間的變化率稱為剛體的角速度，即
ω ＝ dθ
dt
剛體角速度隨時間的變化率稱為剛體的角加速度，即
β ＝ dω
dt ＝ d2 θ
dt2
剛體勻變速定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)規(guī)律為
ω ＝ ω0 + βt ， θ ＝ ω0 t + 1
2 βt2 ， ω2 ＝ ω20
+ 2βθ
2.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律
1） 力對軸的力矩
剛體受一位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的力F 作用時，r 為轉(zhuǎn)軸與力作用點間的垂直距離矢量。則
r 與F 的矢積稱為力F 對z 軸的力矩，即
Mz ＝ r × F
2） 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律
剛體定軸轉(zhuǎn)動時，作用在剛體上所有外力相對某一軸的合外力矩，等于剛體相對該軸轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積。這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，即
Mz ＝ Jz β
3.剛體相對定軸的轉(zhuǎn)動慣量
組成剛體的每一個質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到定軸垂直距離平方的乘積之和，稱為剛體相對某一定軸的轉(zhuǎn)動慣量。
質(zhì)量不連續(xù)分布的剛體，相對某一定軸z 的轉(zhuǎn)動慣量為
Jz ＝ Σi ＝ 1
mi r2i
質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，相對某一定軸z 的轉(zhuǎn)動慣量為
Jz ＝ ∫dJz ＝ ∫r2 dm
4.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能定理
在合外力矩Mz 的作用下，剛體由角位置θ1 轉(zhuǎn)動到角位置θ2 的過程中，力矩Mz 對剛體所做的功為
A ＝ ∫θ2
θ1
Mz dθ
剛體的轉(zhuǎn)動動能為
Ek ＝ 12
Jz ω2
剛體定軸轉(zhuǎn)動時，合外力矩對剛體做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量，這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理，即
∫θ2
θ1
Mz dθ ＝ 1
2 Jz ω22
- 1
2 Jz ω21 5.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 角動量守恒定律
質(zhì)量為m 的質(zhì)點，以速度v 運動時，角動量為
Lz ＝ r × mv
相對定軸z 轉(zhuǎn)動慣量為J z 的剛體以角速度ω 繞z 軸轉(zhuǎn)動時，角動量為
Lz ＝ Jz ω
剛體相對定軸z 的角動量定理如下：
∫t2
t1
Mz dt ＝ Δ （ Jz ω）
當剛體所受的所有外力相對于某一定軸的力矩之和為零時，剛體對該軸的角動量保持不變，這一結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律，即
Σ Mz i ＝ 0 ， Lz ＝ Jz ω ＝ 常矢量