第0章　動(dòng)機(jī) 1
0．1　空間想象給我們帶來(lái)的直觀感受 1
0．2　有效利用線性近似的手段 2
第1章　用空間的語(yǔ)言表達(dá)向量、矩陣和行列式 5
1．1　向量與空間 5
1．1．1　最直接的定義：把數(shù)值羅列起來(lái)就是向量 6
1．1．2　“空間”的形象 9
1．1．3　基底 11
1．1．4　構(gòu)成基底的條件 16
1．1．5　維數(shù) 18
1．1．6　坐標(biāo) 19
1．2　矩陣和映射 19
1．2．1　暫時(shí)的定義 19
1．2．2　用矩陣來(lái)表達(dá)各種關(guān)系（1） 24
1．2．3　矩陣就是映射！ 25
1．2．4　矩陣的乘積=映射的合成 28
1．2．5　矩陣運(yùn)算的性質(zhì) 31
1．2．6　矩陣的乘方=映射的迭代 35
1．2．7　零矩陣、單位矩陣、對(duì)角矩陣 37
1．2．8　逆矩陣=逆映射 44
1．2．9　分塊矩陣 47
1．2．10　用矩陣表示各種關(guān)系（2） 53
1．2．11　坐標(biāo)變換與矩陣 55
1．2．12　轉(zhuǎn)置矩陣=??? 63
1．2．13　補(bǔ)充（1）：時(shí)刻注意矩陣規(guī)模 64
1．2．14　補(bǔ)充（2）：從矩陣的元素的角度看 67
1．3　行列式與擴(kuò)大率 68
1．3．1　行列式=體積擴(kuò)大率 68
1．3．2　行列式的性質(zhì) 73
1．3．3　行列式的計(jì)算方法（1）：計(jì)算公式▽ 80
1．3．4　行列式的計(jì)算方法（2）：筆算法▽ 87
1．3．5　補(bǔ)充：行列式按行（列）展開(kāi)與逆矩陣▽ 91
第2章　秩、逆矩陣、線性方程組——溯因推理 95
2．1　問(wèn)題設(shè)定：逆問(wèn)題 95
2．2　良性問(wèn)題（可逆矩陣） 97
2．2．1　可逆性與逆矩陣 97
2．2．2　線性方程組的解法（系數(shù)矩陣可逆的情況）▽ 97
2．2．3　逆矩陣的計(jì)算方法▽ 107
2．2．4　初等變換▽ 110
2．3　惡性問(wèn)題 115
2．3．1　惡性問(wèn)題示例 115
2．3．2　問(wèn)題的惡劣程度——核與像 120
2．3．3　維數(shù)定理 122
2．3．4　用式子表示“壓縮扁平化”變換（線性無(wú)關(guān)、線性相關(guān)） 126
2．3．5　線索的實(shí)際個(gè)數(shù)（秩） 130
2．3．6　秩的求解方法（1）——悉心觀察 137
2．3．7　秩的求解方法（2）——筆算 142
2．4　良性惡性的判定（逆矩陣存在的條件） 149
2．4．1　重點(diǎn)是“是不是壓縮扁平化映射” 149
2．4．2　與可逆性等價(jià)的條件 150
2．4．3　關(guān)于可逆性的小結(jié) 151
2．5　針對(duì)惡性問(wèn)題的對(duì)策 152
2．5．1　求出所有能求的結(jié)果（1）理論篇 152
2．5．2　求出所有能求的結(jié)果（2）實(shí)踐篇 155
2．5．3　最小二乘法 166
2．6　現(xiàn)實(shí)中的惡性問(wèn)題（接近奇異的矩陣） 167
2．6．1　問(wèn)題源于哪里 167
2．6．2　對(duì)策示例——提克洛夫規(guī)范化 170
第3章　計(jì)算機(jī)上的計(jì)算（1）——LU 分解 173
3．1　引言 173
3．1．1　切莫小看數(shù)值計(jì)算 173
3．1．2　關(guān)于本書中的程序 174
3．2　熱身：加減乘運(yùn)算 174
3．3　LU分解 176
3．3．1　定義 176
3．3．2　分解能帶來(lái)什么好處 178
3．3．3　LU分解真的可以做到嗎 178
3．3．4　LU分解的運(yùn)算量如何 180
3．4　LU分解的步驟（1）一般情況 182
3．5　利用LU分解求行列式值 186
3．6　利用LU分解求解線性方程組 187
3．7　利用LU分解求逆矩陣 191
3．8　LU分解的步驟（2）意外發(fā)生的情況 192
3．8．1　需要整理順序的情況 192
3．8．2　重新整理順序也無(wú)濟(jì)于事的狀況 196
第4章　特征值、對(duì)角化、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型——判斷是否有失控的危險(xiǎn) 197
4．1　問(wèn)題的提出：穩(wěn)定性 197
4．2　一維的情況 202
4．3　對(duì)角矩陣的情況 203
4．4　可對(duì)角化的情況 205
4．4．1　變量替換 205
4．4．2　變量替換的求法 213
4．4．3　從坐標(biāo)變換的角度來(lái)解釋 215
4．4．4　從乘方的角度來(lái)解釋 219
4．4．5　結(jié)論：關(guān)鍵取決于特征值的絕對(duì)值 220
4．5　特征值、特征向量 220
4．5．1　幾何學(xué)意義 220
4．5．2　特征值、特征向量的性質(zhì) 225
4．5．3　特征值的計(jì)算：特征方程 232
4．5．4　特征向量的計(jì)算▽ 240
4．6　連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 246
4．6．1　微分方程 247
4．6．2　一階情況 250
4．6．3　對(duì)角矩陣的情況 250
4．6．4　可對(duì)角化的情況 252
4．6．5　結(jié)論：特征值（的實(shí)部）的符號(hào)是關(guān)鍵 252
4．7　不可對(duì)角化的情況 255
4．7．1　首先給出結(jié)論 255
4．7．2　就算不能對(duì)角化——Jordan標(biāo)準(zhǔn)型 256
4．7．3　Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的性質(zhì) 257
4．7．4　利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型解決初始值問(wèn)題（失控判定的最終結(jié)論） 264
4．7．5　化Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的方法 271
4．7．6　任何方陣均可化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的證明 279
第5章　計(jì)算機(jī)上的計(jì)算（2）——特征值算法 299
5．1　概要 299
5．1．1　和筆算的不同之處 299
5．1．2　伽羅華理論 300
5．1．3　5×5以上的矩陣的特征值不存在通用的求解步驟！ 302
5．1．4　有代表性的特征值數(shù)值算法 303
5．2　Jacobi方法 303
5．2．1　平面旋轉(zhuǎn) 304
5．2．2　通過(guò)平面旋轉(zhuǎn)進(jìn)行相似變換 306
5．2．3　計(jì)算過(guò)程的優(yōu)化 309
5．3　冪法原理 310
5．3．1　求絕對(duì)值最大的特征值 310
5．3．2　求絕對(duì)值最小的特征值 311
5．3．3　QR分解 312
5．3．4　求所有特征值 316
5．4　QR方法 318
5．4．1　QR方法的原理 319
5．4．2　Hessenberg矩陣 321
5．4．3　Householder方法 322
5．4．4　Hessenberg矩陣的QR迭代 325
5．4．5　原點(diǎn)位移、降階 327
5．4．6　對(duì)稱矩陣的情況 327
5．5　反冪法 328
附錄A　希臘字母表 330
附錄B　復(fù)數(shù) 331
附錄C　關(guān)于基底的補(bǔ)充說(shuō)明 336
附錄D　微分方程的解法 341
D．1　dx/dt = f(x) 型 341
D．2　dx/dt = ax + g(t) 型 342
附錄E　內(nèi)積、對(duì)稱矩陣、正交矩陣 346
E．1　內(nèi)積空間 346
E．1．1　模長(zhǎng) 346
E．1．2　正交 347
E．1．3　內(nèi)積 347
E．1．4　標(biāo)準(zhǔn)正交基 349
E．1．5　轉(zhuǎn)置矩陣 351
E．1．6　復(fù)內(nèi)積空間 351
E．2　對(duì)稱矩陣與正交矩陣——實(shí)矩陣的情況 352
E．3　埃爾米特矩陣與酉矩陣——復(fù)矩陣的情況 353
附錄F　動(dòng)畫演示程序的使用方法 354
F．1　執(zhí)行結(jié)果 354
F．2　準(zhǔn)備工作 354
F．3　使用方法 355
參考文獻(xiàn) 357