目錄
前言
第10章 函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1
10.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念與性質(zhì) 1
10.1.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1
10.1.2 研究問題描述 3
10.1.3 函數(shù)序列的一致收斂性 5
10.1.4 函數(shù)序列一致收斂的典型例題 8
10.1.5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 11
10.1.6 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的典型例題 15
10.1.7 狄利克雷和阿貝爾判別方法 17
10.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) 21
10.2.1 和函數(shù)的連續(xù)性 21
10.2.2 和函數(shù)的可積性 25
10.2.3 和函數(shù)的可微性 27
10.3 冪級(jí)數(shù) 32
10.3.1 冪級(jí)數(shù)的收斂域 32
10.3.2 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) 35
10.3.3 泰勒級(jí)數(shù) 38
10.3.4 泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用 44
10.3.5 冪級(jí)數(shù)綜合例題 46
10.4 綜合例題選講 52
10.5 提高課：伯恩斯坦多項(xiàng)式序列的一致收斂 56
10.6 探索類問題 58
第11章 傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換 61
11.1 傅里葉級(jí)數(shù) 61
11.1.1 傅里葉級(jí)數(shù)的基本概念 61
11.1.2 傅里葉級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂定理 64
11.1.3 傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 69
11.1.4 以 2 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算 71
11.1.5 以 2l 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算 75
11.1.6 余弦和正弦級(jí)數(shù)計(jì)算 78
11.2 提高課 (1)：傅里葉級(jí)數(shù)的平方逼近 85
11.3 提高課 (2) 88
11.3.1 傅里葉積分與傅里葉變換 88
11.3.2 傅里葉變換的計(jì)算 91
11.3.3 傅里葉變換的性質(zhì) 93
11.3.4 離散傅里葉變換 95
11.3.5 快速傅里葉變換 99
11.3.6 快速傅里葉變換應(yīng)用實(shí)例 101
11.4 提高課 (3) 104
11.4.1 小波變換初步: 信號(hào)多分辨分析 105
11.4.2 小波變換應(yīng)用實(shí)例 112
11.5 探索類問題 120
第12章 多變量函數(shù)的極限與連續(xù) 122
12.1 歐幾里得空間 122
12.2 n 維歐幾里得空間中點(diǎn)集的基本概念和性質(zhì) 124
12.3 歐幾里得空間中點(diǎn)列的極限 130
12.4 多元函數(shù)的極限 133
12.4.1 多元函數(shù)的定義 133
12.4.2 多元函數(shù)極限的定義 136
12.4.3 多元函數(shù)極限基本理論 139
12.4.4 多元函數(shù)極限典型例題 141
12.4.5 累次極限 144
12.5 多元連續(xù)函數(shù) 147
12.5.1 多元連續(xù)函數(shù)的概念 147
12.5.2 多元函數(shù)的一致連續(xù) 150
12.5.3 偏連續(xù)與全連續(xù) 153
12.6 有界閉集上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 155
12.7 綜合例題選講 156
12.8 探索類問題 160
第13章 多元函數(shù)微分學(xué) 162
13.1 全微分與偏導(dǎo)數(shù) 162
13.1.1 多元函數(shù)的微分與偏導(dǎo)數(shù) 162
13.1.2 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 168
13.1.3 方向?qū)��?shù)與梯度 173
13.1.4 高階偏導(dǎo)數(shù) 178
13.1.5 高階微分 184
13.2 中值定理與泰勒公式 186
13.2.1 多變量函數(shù)的中值定理 186
13.2.2 多變量函數(shù)的泰勒公式 188
13.3 多元函數(shù)的極值 195
13.3.1 關(guān)于矩陣的幾個(gè)概念和性質(zhì) 195
13.3.2 多元函數(shù)的無約束極值 196
13.4 隱函數(shù)存在定理及應(yīng)用 204
13.4.1 函數(shù)行列式 204
13.4.2 隱函數(shù)存在定理 207
13.4.3 隱函數(shù)組存在定理 212
13.4.4 隱函數(shù)的應(yīng)用: 方程換元 221
13.4.5 隱函數(shù)的幾何應(yīng)用 226
13.5 條件極值 234
13.6 提高課 242
13.6.1 離散數(shù)據(jù)擬合：線性模型最小二乘方法 242
13.6.2 離散數(shù)據(jù)擬合: 非線性模型最小二乘方法 244
13.6.3 數(shù)值優(yōu)化初步 248
13.7 探索類問題 254
第14章 向量函數(shù)的微分學(xué) 256
14.1 向量函數(shù)的極限與連續(xù) 256
14.1.1 向量函數(shù) 256
14.1.2 向量與矩陣范數(shù) 259
14.1.3 向量函數(shù)的極限 261
14.1.4 向量函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù) 263
14.2 向量函數(shù)的微分 267
14.2.1 向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 267
14.2.2 向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 269
14.2.3 向量函數(shù)的中值定理 273
14.2.4 向量函數(shù)的應(yīng)用: 開普勒定律的證明 274
14.3 探索類問題 277
第15章 常微分方程與數(shù)值解法初步 280
15.1 微分方程與數(shù)學(xué)建模 280
15.1.1 微分方程基本概念 280
15.1.2 微分方程與數(shù)學(xué)建模 281
15.2 一階常微分方程的解法 283
15.2.1 一階常微分方程的分離變量法 283
15.2.2 齊次方程 284
15.2.3 一階線性微分方程與伯努利方程 286
15.2.4 可降階的高階微分方程 288
15.3 二階線性常微分方程的解法 291
15.3.1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 291
15.3.2 參數(shù)變異方法 293
15.3.3 常系數(shù)二階線性齊次常微分方程 295
15.3.4 常系數(shù)二階線性非齊次常微分方程 297
15.3.5 二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法與歐拉方程 299
15.4 綜合應(yīng)用實(shí)例 301
15.5 提高課 (1) 306
15.5.1 線性微分方程組的求解 306
15.5.2 常微分方程初值問題的幾個(gè)基本問題 310
15.5.3 常微分方程數(shù)值解初步 313
15.6 提高課 (2) 316
15.6.1 三級(jí)火箭問題研究 316
15.6.2 人口模型研究 319
15.6.3 微分方程組建模 323
15.7 探索類問題 327
第16章 重積分 329
16.1 二重積分的定義與計(jì)算 329
16.1.1 平面圖形的面積 329
16.1.2 二重積分的定義 332
16.1.3 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 335
16.1.4 二重積分的換元公式 342
16.1.5 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 349
16.1.6 二重積分綜合例題 357
16.2 三重積分的定義與計(jì)算 364
16.2.1 三重積分的定義 364
16.2.2 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 367
16.2.3 三重積分的換元公式 377
16.2.4 柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 380
16.2.5 球坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 383
16.2.6 三重積分綜合例題 388
16.3 重積分的物理應(yīng)用 393
16.3.1 重心坐標(biāo) 393
16.3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 394
16.3.3 引力 395
16.4 提高課 396
16.4.1 無界區(qū)域上的二重積分 396
16.4.2 無界函數(shù)的二重積分 401
16.5 探索類問題 402
第17章 曲線積分與格林公式 406
17.1 第一型曲線積分 406
17.1.1 第一型曲線積分的定義 406
17.1.2 第一型曲線積分的計(jì)算公式 408
17.1.3 第一型曲線積分的基本性質(zhì) 410
17.1.4 第一型曲線積分的典型例題 411
17.2 第二型曲線積分 415
17.2.1 第二型曲線積分的定義 415
17.2.2 第二型曲線積分的計(jì)算公式 417
17.2.3 第二型曲線積分的典型例題 418
17.3 格林公式 423
17.3.1 格林公式 423
17.3.2 曲線積分與路徑的無關(guān)性 431
17.4 提高課：格林第一、二、三公式與應(yīng)用 436
17.5 探索類問題 440
第18章 曲面積分 441
18.1 第一型曲面積分 441
18.1.1 空間曲面的參數(shù)方程 441
18.1.2 曲面面積的計(jì)算 444
18.1.3 第一型曲面積分的定義與計(jì)算 448
18.1.4 第一型曲面積分的典型例題 451
18.2 第二型曲面積分 458
18.2.1 雙側(cè)曲面 458
18.2.2 第二型曲面積分的定義 459
18.2.3 第二型曲面積分的計(jì)算公式 462
18.2.4 第二型曲面積分的典型例題 464
18.2.5 兩型曲面積分的關(guān)系 468
18.3 高斯公式 472
18.3.1 高斯公式 472
18.3.2 高斯公式應(yīng)用例題 474
18.3.3 空間格林第二、第三公式 479
18.4 斯托克斯公式 482
18.4.1 斯托克斯公式 482
18.4.2 斯托克斯公式典型例題 485
18.4.3 空間曲線積分與路徑無關(guān)性 489
18.5 場(chǎng)論初步 492
18.5.1 數(shù)量場(chǎng)的梯度 492
18.5.2 向量場(chǎng)的通量與散度 493
18.5.3 向量場(chǎng)的環(huán)量與旋度 496
18.5.4 有勢(shì)場(chǎng)與勢(shì)函數(shù) 500
18.6 提高課 502
18.6.1 積分的統(tǒng)一定義 502
18.6.2 外微分 503
18.7 探索類問題 506
第19章 含參變量積分 511
19.1 含參變量常義積分的定義與性質(zhì) 511
19.1.1 含參變量積分的分析性質(zhì) 511
19.1.2 含參變量積分典型例題 515
19.2 含參變量無窮積分的一致收斂 520
19.2.1 含參變量無窮積分的定義 521
19.2.2 含參變量無窮積分的一致收斂判定定理 521
19.2.3 含參變量無窮積分的連續(xù)性定理與應(yīng)用 529
19.2.4 含參變量無窮積分的可積性定理與應(yīng)用 533
19.2.5 含參變量無窮積分的可微性定理與應(yīng)用 537
19.2.6 含參變量瑕積分結(jié)論概述與應(yīng)用 540
19.3 提高課：歐拉積分與應(yīng)用 545
19.3.1 函數(shù) 545
19.3.2 B 函數(shù) 547
19.3.3 歐拉積分與應(yīng)用 550
19.4 探索類問題 551
參考文獻(xiàn)554