本書介紹了數(shù)學分析的基本概念、基本理論和方法,包括一元(多元)函數(shù)極限理論、一元函數(shù)微積分學、級數(shù)理論和多元函數(shù)微積分學等.全書共分三冊.本冊內(nèi)容包括不定積分、定積分、定積分應用和反常積分、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)與Fourier級數(shù).書中列舉了大量例題來說明數(shù)學分析的定義、定理及方法,并提供了豐富的思考題和習題,便于教師教學與學生自學.每章都有小結(jié),對該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié),章末配有復習題,方便學生系統(tǒng)復習.書中還配有23個關于主要概念和重要定理講解的小視頻,內(nèi)容呈現(xiàn)得更加生動直觀.
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目錄
《數(shù)學分析立體化教材》序言
第二版說明
第一版前言
使用說明
第7章 不定積分 1
7.1 原函數(shù)與不定積分的概念 1
7.1.1 原函數(shù)和不定積分的定義 1
7.1.2 運算性質(zhì)和基本積分公式 3
7.2 不定積分的計算 6
7.2.1 換元法求不定積分 6
7.2.2 分部法求不定積分 10
7.3 有理函數(shù)的不定積分 14
7.3.1 有理函數(shù)的部分分式分解 14
7.3.2 有理函數(shù)的不定積分 16
7.3.3 三角函數(shù)有理式的不定積分 19
7.3.4 某些無理根式的不定積分 21
小結(jié) 23
復習題 24
第8章 定積分 26
8.1 定積分的概念與性質(zhì) 26
8.1.1 引例與定義 26
8.1.2 定積分的性質(zhì) 31
8.2 微積分基本定理 35
8.2.1 變上限積分的定義與性質(zhì) 35
8.2.2 微積分基本定理 37
8.3 定積分的計算 39
8.3.1 換元法求定積分 39
8.3.2 分部法求定積分 41
8.4 定積分存在的條件 44
8.4.1 達布和的定義 44
8.4.2 上和與下和的性質(zhì) 45
8.4.3 可積的充要條件 48
8.4.4 可積函數(shù)類 53
8.5 積分中值定理 56
8.5.1 積分第一中值定理 56
8.5.2 積分第二中值定理 58
小結(jié) 61
復習題 62
第9章 定積分應用和反常積分 65
9.1 定積分應用的兩種常用格式 65
9.2 平面圖形的面積 67
9.2.1 直角坐標情形 67
9.2.2 參數(shù)方程情形 68
9.2.3 極坐標情形 69
9.3 由平行截面面積求體積 71
9.3.1 由平行截面面積計算體積 71
9.3.2 旋轉(zhuǎn)體體積 73
9.4 平面曲線的弧長 75
9.4.1 平面曲線弧長的概念 75
9.4.2 平面曲線弧長的計算 75
9.5 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 78
9.5.1 旋轉(zhuǎn)曲面面積的概念 78
9.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算 79
9.6 定積分在某些物理問題中的應用 82
9.6.1 變力做功 82
9.6.2 壓力 83
9.6.3 力矩與重心 83
9.7 反常積分的概念與基本性質(zhì) 85
9.7.1 反常積分的概念與統(tǒng)一定義 85
9.7.2 反常積分的基本性質(zhì) 89
9.8 反常積分的斂散性 91
9.8.1 反常積分的 Cauchy 收斂準則 91
9.8.2 反常積分的絕對收斂與條件收斂 92
9.8.3 反常積分的比較判別法 92
9.8.4 Dirichlet 判別法與 Abel 判別法 96
小結(jié) 99
復習題 101
第10章 數(shù)項級數(shù) 104
10.1 數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 104
10.1.1 數(shù)項級數(shù)的概念 104
10.1.2 級數(shù)的 Cauchy 收斂準則 106
10.1.3 級數(shù)的基本性質(zhì) 107
10.2 正項級數(shù) 110
10.2.1 正項級數(shù)收斂性的一般判別法 111
10.2.2 根值法與比值法 116
10.2.3 其他判別法 118
10.3 一般項級數(shù) 123
10.3.1 絕對收斂與條件收斂 123
10.3.2 交錯級數(shù) 123
10.3.3 Dirichlet判別法和Abel判別法 125
10.4 絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的性質(zhì) 129
10.4.1 收斂級數(shù)的可結(jié)合性 130
10.4.2 收斂級數(shù)的重排 130
10.4.3 級數(shù)的乘積 132
小結(jié) 135
復習題 135
第11章 函數(shù)項級數(shù) 138
11.1 函數(shù)列一致收斂的概念與判定 138
11.1.1 逐點收斂與一致收斂的概念 138
11.1.2 函數(shù)列一致收斂的判定 142
11.2 一致收斂函數(shù)列的性質(zhì) 147
11.3 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念及其判定 153
11.3.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念 153
11.3.2 一致收斂的判別法 156
11.4 和函數(shù)的分析性質(zhì) 161
11.5 處處不可微的連續(xù)函數(shù) 166
小結(jié) 167
復習題 169
第12章 冪級數(shù)與Fourier級數(shù) 171
12.1 冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù) 171
12.1.1 冪級數(shù)的定義和收斂域 171
12.1.2 冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì) 176
12.1.3 冪級數(shù)的運算 181
12.2 函數(shù)的冪級數(shù)展開 183
12.2.1 Taylor級數(shù)與余項公式 184
12.2.2 幾個常用的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開 188
12.3 三角級數(shù)與Fourier級數(shù) 195
12.3.1 三角級數(shù)的概念 195
12.3.2 以2為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù) 197
12.3.3 以2l為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù) 199
12.3.4 任意區(qū)間[a; b]上的Fourier級數(shù) 202
12.4 Fourier級數(shù)的收斂性 205
12.4.1 Fourier級數(shù)的收斂判別法 205
12.4.2 Dirichlet積分 208
12.4.3 Riemann引理與Fourier級數(shù)收斂判別法的證明 210
12.4.4 Fourier級數(shù)的分析性質(zhì) 211
12.4.5 Fourier級數(shù)的平方平均收斂 215
小結(jié) 217
復習題 219
習題答案或提示 221
參考文獻 233
附錄 不定積分表 234
索引 238
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