這本書(shū)是對(duì)各種各樣的數(shù)，特別是對(duì)它們那不可思議的性質(zhì)進(jìn)行分析、講解。在這里，就先簡(jiǎn)單地介紹一下素?cái)?shù)的魅力吧。
相信很多人都知道，素?cái)?shù)的定義是“一個(gè)大于1的自然數(shù)，且約數(shù)為1和其本身的數(shù)”。具體來(lái)說(shuō)，就是像“2、3、5、7、11、13、17”這一類(lèi)的數(shù)。而“4”的約數(shù)除了 1和 4 之外還有 2，所以 4 不是素?cái)?shù)。
雖然素?cái)?shù)像這樣被人們?nèi)绱撕?jiǎn)單地定義了，但是其性質(zhì)和構(gòu)造卻是既豐富又深?yuàn)W，仿佛像一汪“取之不竭”的泉水。
首先，素?cái)?shù)到底有多少個(gè)呢？就算不知道準(zhǔn)確的個(gè)數(shù)，那到底是有窮個(gè)？還是說(shuō)有無(wú)限多個(gè)呢？
其實(shí)呀，素?cái)?shù)是有無(wú)限多個(gè)的！
但是，關(guān)于這個(gè)結(jié)論的證明在大約 2300 年前，也就是遙遠(yuǎn)的古希臘時(shí)代，就已經(jīng)出現(xiàn)在了歐幾里得所著的《原論》這本書(shū)上。這實(shí)在是令人吃驚，具體內(nèi)容將在本書(shū)的第3章為大家說(shuō)明。
其次，我們來(lái)看看孿生素?cái)?shù)，相差 2 的 1 組 2 個(gè)的素?cái)?shù)對(duì)被稱為孿生素?cái)?shù)，如（3，5）（5，7）（11，13）等�？墒�，關(guān)于孿生素?cái)?shù)，雖然有“像素?cái)?shù)一樣擁有無(wú)限多個(gè)”的猜想，但是至今為止，誰(shuí)都沒(méi)能成功將其證明。
這個(gè)孿生素?cái)?shù)猜想也是數(shù)學(xué)界有名的一個(gè)未解之謎。
與之相關(guān)聯(lián)的，在 2013 年，美國(guó)新罕布什爾大學(xué)的張益唐證明出了“存在無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)，其差小于7000”。這個(gè)新聞在一瞬間就轟動(dòng)了全世界，在日本也被刊登到了體育新聞上，被廣為宣傳。猶記得，他在發(fā)現(xiàn)這個(gè)新定理的時(shí)候已經(jīng)將近 60 歲高齡的事情也引起了很高的關(guān)注度。至今，“七千萬(wàn)”這個(gè)范圍已經(jīng)被很大幅度地縮小了，但遺憾的是，素?cái)?shù)對(duì)間隙的這個(gè)范圍還是沒(méi)有縮小到“2”。也許終有一天，孿生素?cái)?shù)猜想會(huì)被證明，就像人們猜想的那樣——
“孿生素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)”。
順帶提一下，肯定有人也知道，除了上述謎題外，另一個(gè)數(shù)學(xué)界的未解之謎之一——黎曼猜想。這個(gè)猜想是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家黎曼在 1859 年所著論文的基礎(chǔ)上提出的，實(shí)際上與素?cái)?shù)是如何分布的這一點(diǎn)密切相關(guān)，其論文的標(biāo)題就是“論小于某給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)”。 是不是同剛才的孿生素?cái)?shù)猜想一樣，也與素?cái)?shù)的分布有關(guān)呢？
那么，那些相差為 2 的 1 組 3 個(gè)的素?cái)?shù)，也就是人們所說(shuō)的三胞胎素?cái)?shù)一共有多少組呢？其實(shí)呀，本書(shū)在之后也會(huì)講解，可以很輕易地證明出只有（3，5，7）這一組。
像這樣 3 個(gè)素?cái)?shù)以（p，p+2，p+4）的形式雖然只有一組存在，但是如果稍微改變一下條件，來(lái)考慮一下 3 個(gè)素?cái)?shù)以（p，p+2，p+6）的形式存在的三胞胎素?cái)?shù)，情況就會(huì)大不相同了。這種情況下，又有很多如（5，7，11）（11，13，17）（17，19，23）等素?cái)?shù)對(duì)的存在，于是就又有了無(wú)限對(duì)存在的猜想。
關(guān)于這一系列的猜想和證明在逐漸發(fā)展。
此后，4 個(gè)素?cái)?shù)以（p，p+2，p+4，p+6）的形式存在的四胞胎不存在這件事就立刻被證明了。但是人們又想改變一下條件來(lái)研究，比如說(shuō) 4 個(gè)素?cái)?shù)以（p，p+2，p+6，p+8）的形式存在的四胞胎素?cái)?shù)，則存在諸如（5，7，11，13）（11，13，17，19）這樣 1 組以上的素?cái)?shù)對(duì)，但是是否有無(wú)限對(duì)存在這一點(diǎn)，目前還沒(méi)有被證明。
此外，2 個(gè) 1 組的素?cái)?shù)對(duì)除了（p，p+2）的形式以外，現(xiàn)在人們經(jīng)常研究的還有以（p，p+4）形式存在的表兄弟素?cái)?shù)對(duì)，和以（p，p+6）形式存在的六素?cái)?shù)對(duì)。
像這樣有著五花八門(mén)的素?cái)?shù)對(duì)的存在，關(guān)于它們的猜想和研究也還有很多，一旦說(shuō)起來(lái)就沒(méi)有盡頭了，我們暫且先說(shuō)到這里。
在學(xué)校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，基本上被教授的都是已經(jīng)得出結(jié)論的知識(shí)，所以很多人的印象里就會(huì)有“在這個(gè)宇宙中解不開(kāi)的問(wèn)題非常稀少，而且好像不是只有一些特殊的問(wèn)題存在嗎”這樣的想法，更有甚者還有“數(shù)學(xué)難道不是萬(wàn)能的嗎”這樣的想法。這其實(shí)是不對(duì)的，雖然“有些問(wèn)題很容易就能夠理解，覺(jué)得好像看上一眼就能夠解開(kāi)”，但是“其實(shí)是怎么也解不開(kāi)的非常難的問(wèn)題”。從這個(gè)角度來(lái)看，數(shù)字真是一座問(wèn)題的“寶”山！
就像我前面說(shuō)的一樣，僅僅是數(shù)字里面的素?cái)?shù)，而且是極其小的一部分的話題，都可以被無(wú)限展開(kāi)。雖然說(shuō)我的主要研究方向是概率論，但是在研究過(guò)程中經(jīng)常會(huì)有數(shù)字，特別是自然數(shù)的出現(xiàn)。
倒不如說(shuō)是，概率由于排列組合的存在，需要計(jì)算的東西并不少，所以親和性很高，與數(shù)字經(jīng)常打交道也可以說(shuō)是理所當(dāng)然�？墒牵�在意料之外的地方突然碰見(jiàn)數(shù)字的那種喜悅，對(duì)于一個(gè)研究者來(lái)說(shuō)，是用什么東西都無(wú)法代替的。我這么說(shuō)可能有一點(diǎn)夸張，但是“表述數(shù)字就相當(dāng)于表述數(shù)學(xué)”，這么說(shuō)也不為過(guò)吧。本書(shū)是在 2001 年出版的《圖解雜學(xué)　不可思議的數(shù)字》（Natsume出版社）的基礎(chǔ)上，大幅修改后的出版物。
最后說(shuō)一點(diǎn)，科學(xué)書(shū)籍編輯部的石井顯一先生，就此次出版關(guān)聯(lián)的工作事無(wú)巨細(xì)悉心地幫助我，我深受他的恩惠，在此深表感謝。