目 錄 第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1 第一節(jié)一元函數(shù)1 一、集合(1)二、函數(shù)的概念(2)三、函數(shù)的性質(zhì)(4) 四、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)(7)五、基本初等函數(shù)(9)六、初等函數(shù)(13) 七、函數(shù)的參數(shù)表示和極坐標(biāo)表示（13）思考題1.1(15)習(xí)題1.1(16) 第二節(jié)極限的概念17 一、引言(17)二、數(shù)列的極限(17)三、函數(shù)的極限(21) 思考題1.2(27)習(xí)題1.2(27) 第三節(jié)無窮小量與無窮大量28 一、無窮小量(28)二、無窮大量(29)三、無窮小量的性質(zhì)(31) 思考題1.3(33)習(xí)題1.3(33) 第四節(jié)極限的運(yùn)算法則與性質(zhì)34 一、極限的運(yùn)算法則(34)二、極限的性質(zhì)(38) 思考題1.4(39)習(xí)題1.4(40) 第五節(jié)兩個重要極限40 一、極限存在準(zhǔn)則(41)二、兩個重要極限(43)*三、柯西收斂準(zhǔn)則(48) 思考題1.5(48)習(xí)題1.5(49) 第六節(jié)無窮小量的比較49 一、問題的引入(50)二、無窮小量的比較(50)三、利用等價無窮小量求極限(51) 思考題1.6(53)習(xí)題1.6(53) 第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性54 一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(54)二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(59) 三、初等函數(shù)的連續(xù)性(61)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(62) 思考題1.7(65)習(xí)題1.7(65) 第八節(jié)應(yīng)用實例67 實例一：連續(xù)計息問題(67)實例二：科克曲線(67) 總習(xí)題一69 單元測試一70 第二章導(dǎo)數(shù)與微分72 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念72 一、兩個經(jīng)典問題(72)二、導(dǎo)數(shù)的定義(74)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)(77) 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(78)五、函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系(78) 思考題2.1(80)習(xí)題2.1(80) 第二節(jié)求導(dǎo)法則81 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(81)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則(83) 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(84)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式(87) 思考題2.2(88)習(xí)題2.2(89) 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)90 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念(90)二、幾個初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(91) 三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(92) 思考題2.3(93)習(xí)題2.3(93) 第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)94 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(94)二、對數(shù)求導(dǎo)法(97) 三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(98)思考題2.4(99)習(xí)題2.4(100) 第五節(jié)微分100 一、概念的引出(100)二、微分的定義(101)三、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(102) 四、微分的幾何意義(103)五、微分運(yùn)算法則(104) 六、微分在近似計算中的應(yīng)用(105)思考題2.5(108)習(xí)題2.5(109) 第六節(jié)應(yīng)用實例110 實例一：相關(guān)變化率(110)實例二：飛機(jī)降落曲線問題(110)習(xí)題2.6(112) 總習(xí)題二112 單元測試二112 第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用114 第一節(jié)微分中值定理114 一、羅爾中值定理(114)二、拉格朗日中值定理(115) 三、微分中值定理的初步應(yīng)用(117)思考題3.1(118)習(xí)題3.1(118) 第二節(jié)洛必達(dá)法則119 一、直觀描述(119)二、00型未定式(120) 三、∞∞型未定式(121)四、其他類型的未定式(122) 思考題3.2(124)習(xí)題3.2(124) 第三節(jié)函數(shù)幾何性態(tài)的研究125 一、函數(shù)單調(diào)性的判定(125)二、曲線的凹凸性與拐點(127) 三、函數(shù)的極值(130)四、函數(shù)圖形的描繪(134) 五、曲率——曲線彎曲程度的定量描述(136) 思考題3.3(140)習(xí)題3.3(140) 第四節(jié)最值問題141 思考題3.4(144)習(xí)題3.4(144) 第五節(jié)應(yīng)用實例145 實例一：火車彎道問題的設(shè)計(145)實例二：運(yùn)輸問題(146) 總習(xí)題三147 單元測試三148 第四章不定積分150 第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)150 一、原函數(shù)與不定積分的概念(150)二、不定積分的基本公式(152) 三、不定積分的性質(zhì)(153)思考題4.1(155)習(xí)題4.1(156) 第二節(jié)不定積分的基本積分法157 一、換元積分法(157)二、分部積分法(165) 思考題4.2(168)習(xí)題4.2(168) 第三節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的不定積分170 一、有理函數(shù)的不定積分(170)二、三角函數(shù)有理式的不定積分(173) 三、簡單無理函數(shù)的不定積分(174)思考題4.3(176)習(xí)題4.3(176) 總習(xí)題四177 單元測試四177 第五章定積分及其應(yīng)用179 第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)179 一、兩個經(jīng)典問題(179)二、定積分的定義(181)三、定積分的幾何意義(182) 四、定積分的存在定理(183)五、定積分的性質(zhì)(184) 思考題5.1(189)習(xí)題5.1(189) 第二節(jié)微積分基本公式191 一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(191)二、牛頓萊布尼茨公式(195) 思考題5.2(198)習(xí)題5.2(199) 第三節(jié)定積分的計算200 一、定積分的換元積分法(200)二、定積分的分部積分法(206) 思考題5.3(209)習(xí)題5.3(209) 第四節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用210 一、定積分應(yīng)用的微元法(211)二、平面圖形的面積(211) 三、某些特殊立體的體積(217)四、平面曲線的弧長(222) 思考題5.4(224)習(xí)題5.4(225) 第五節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用226 一、變力沿直線所做的功(226)二、液體的靜壓力(228)*三、引力(229) 思考題5.5(230)習(xí)題5.5(230) 第六節(jié)反常積分231 一、無限區(qū)間上的反常積分(231)二、無界函數(shù)的反常積分(235) *三、Γ函數(shù)(238)思考題5.6(238)習(xí)題5.6(238) 第七節(jié)應(yīng)用實例240 實例一:橢圓柱形油罐中油量的刻度問題(240) 實例二:橢圓周長的簡便計算方法(241)習(xí)題5.7(242) 總習(xí)題五242 單元測試五(1)243 單元測試五（2）244 第六章微分方程與數(shù)學(xué)建模初步247 第一節(jié)微分方程的基本概念247 一、引例(247)二、微分方程的幾個概念(249) 思考題6.1(251)習(xí)題6.1(251) 第二節(jié)一階微分方程252 一、可分離變量的微分方程(253)二、一階線性微分方程(256) 三、變量代換(258)思考題6.2(261)習(xí)題6.2(262) 第三節(jié)微分方程模型的建模簡介263 一、微分方程模型的建模步驟(263)二、實例一：飛機(jī)減速傘的設(shè)計與應(yīng)用(265) 三、實例二：R�睱電路(266)習(xí)題6.3(266) 第四節(jié)可降階的高階微分方程267 一、形如y(n)=f(x)的微分方程(268)二、形如y″=f(x，y′)的微分方程(268) 三、形如y″=f(y，y′)的微分方程(269) 思考題6.4(270)習(xí)題6.4(270) 第五節(jié)線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)271 一、線性微分方程(271)二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(271) *三、常數(shù)變易法(274)思考題6.5(274)習(xí)題6.5(274) 第六節(jié)常系數(shù)線性微分方程的解法275 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法(275) 二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法(279) 思考題6.6(284)習(xí)題6.6(284) *第七節(jié)特殊的二階變系數(shù)線性微分方程——?dú)W拉方程286 習(xí)題6.7(286) 第八節(jié)應(yīng)用實例286 實例一：振動模型(286)實例二：最速降線問題(290) 習(xí)題6.8(292) 總習(xí)題六292 單元測試六292 附錄一常見的平面曲線295 附錄二積分表295