第1章數(shù)據(jù)素養(yǎng)概述


第1章數(shù)據(jù)素養(yǎng)概述


1��1數(shù)


1��1��1數(shù)的產(chǎn)生


從歷史上我們了解到，人類的祖先為了生存，過著群居的生活。他們共同勞動(dòng)，一起分享勞動(dòng)所得。在長期的共同勞動(dòng)和生活中，產(chǎn)生了語言，他們有時(shí)也會(huì)用夾雜著手勢(shì)的語言來表達(dá)感情和交流思想。隨著勞動(dòng)內(nèi)容的發(fā)展，他們的語言不斷發(fā)展，其中最主要的一個(gè)方面就是有了“數(shù)”的“色彩”。


如圖1-1所示，群居生活中，人們有時(shí)滿載而歸，有時(shí)兩手空空，“有”與“無”便是早期人類對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)（頗像二進(jìn)制中的“0”和“1”）。




圖1-1有（右）與無（左）




后來，以個(gè)體為單位的群居逐漸發(fā)展為以家庭為單位的部落�！坝小边@個(gè)概念逐漸被細(xì)分為“一”“二”“三”，而所有大于“三”的數(shù)量都被理解為“多”，這便是“數(shù)”的雛形以及當(dāng)時(shí)有限的算術(shù)知識(shí)。


1��1��2數(shù)的表示


后來，原始人民開啟了“農(nóng)耕”式生活。然而，新問題接踵而至，比如如何記錄時(shí)節(jié)，怎樣計(jì)算收成等。僅僅使用“一”“二”“三”“多”這些概念去解決這些問題，猶如煎水作冰、蒸沙成飯，于是粒度更加細(xì)膩的其他“數(shù)”在歷史的長河中水到渠成般出現(xiàn)。


由此可以看出，“數(shù)”這個(gè)字的本義是用來記錄數(shù)量的自然數(shù)（0和1、2、3等正整數(shù)），但是不同時(shí)期、不同地理位置的人所用的記數(shù)符號(hào)卻大不相同。


斯蒂文·斯特羅加茨在其著作《x的奇幻之旅》（The Joy of x：A Guided Tour of Math，from One to Infinity）中曾這樣寫道：“把數(shù)字看成一堆堆的石頭，這個(gè)想法聽上去也許有點(diǎn)古怪，但其實(shí)它跟數(shù)學(xué)一樣古老。英文‘計(jì)算’（calculate）這個(gè)詞來自拉丁文calculus，本義就是一堆用來計(jì)數(shù)的鵝卵石�！爆F(xiàn)如今人們?cè)诘妄g階段認(rèn)識(shí)數(shù)字的時(shí)候，仍然使用這種方法，如圖1-2所示。




圖1-2鵝卵石計(jì)數(shù)




如圖1-3所示，用利器在樹皮、獸皮或者石頭上刻痕（一個(gè)印跡表示“1”），也是我們祖先曾經(jīng)使用的記數(shù)方式。這種刻痕記數(shù)的方式隨著時(shí)間的流逝逐漸被其他方式所替代，但刻痕記事卻在歷史上廣泛使用，直至今日，如人們用碑文來描繪風(fēng)景、事物或記錄事件、人物等，甚至現(xiàn)在廣泛使用的印章也留存了它的影子。




圖1-3利器刻痕與印章




圖1-4所示的“結(jié)繩記事”也是地球上古代人類共同做過的事。我國古書中有“結(jié)繩而治”的記載。傳說古代波斯王有一次打仗，命令手下兵馬守一座橋，要守60天。為了讓將士們不少守一天也不多守一天，波斯王將一根長長的皮條系了60個(gè)扣，他對(duì)守橋的官兵們說：“我走后你們一天解一個(gè)扣，什么時(shí)候解完了，你們就可以回家了�！�




圖1-4結(jié)繩記事




圖1-5是我國古體字中的“數(shù)”，有人認(rèn)為，它的右邊是一只右手，左邊則是一根打了許多繩結(jié)的木棍，于是有“數(shù)”者，圖結(jié)繩而記之也。




圖1-5“數(shù)”的經(jīng)典古體字




把小棍擺在地上計(jì)數(shù)也是古人常用的辦法，這種方法現(xiàn)在小學(xué)階段低齡學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)字時(shí)仍然使用，如圖1-6所示。后來，定居的生活形式出現(xiàn)，人類開始使用一些特定的符號(hào)（如用某個(gè)固定的符號(hào)表示1，某兩個(gè)同樣的符號(hào)表示2……），這些辦法用得多了，就逐漸形成了數(shù)的符號(hào)——數(shù)字。




圖1-6小棍計(jì)數(shù)




現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用的羅馬數(shù)字，是歐洲人在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼。它的產(chǎn)生晚于中國甲骨文中的數(shù)碼，更晚于埃及人的十進(jìn)制數(shù)字，但是，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步。


羅馬數(shù)字表盤如圖1-7所示，羅馬數(shù)字，其符號(hào)一共有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。




圖1-7羅馬數(shù)字表盤




這7個(gè)符號(hào)在位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的，它們按照下列規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù)：


1�敝貜�(fù)次數(shù)


一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次，就表示是這個(gè)數(shù)的幾倍。例如，“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。


2�庇壹幼鬁p


一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”；一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。


3�鄙霞訖M線


在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示是這個(gè)數(shù)的1000倍，如“V—”表示“5000”。


我國古代也很重視記數(shù)符號(hào)，甲骨文和鐘鼎文中都有記數(shù)的符號(hào)，不過由于難寫難認(rèn)，后人沒有沿用。






春秋時(shí)代之后，古老的中華大地上出現(xiàn)了一些背著黑布袋走街串巷的人。他們會(huì)設(shè)計(jì)宮殿、廟宇、祠堂、糧倉，能指揮開挖河渠、觀看天象……每有數(shù)字疑難，他們便打開布袋。其實(shí)，袋子里裝著的并非什么珍寶秘籍，而是小竹棍。他們尋一處所，或是案幾，或是地面，把小竹棍擺來擺去，口中念念有詞，名曰“布算”（意思是擺開來計(jì)算），不一會(huì)兒，就能給出答案，令旁觀者嘖嘖稱奇。這些小竹棍叫作算籌。


按《漢書·律歷志》的記載，算籌是直徑一分筆者注：10分=1寸，1分約為3��33毫米。、長六寸筆者注：1寸≈3��33厘米，故6寸約等于19��98厘米。的圓形竹棍，二百七十一根為一“握”。后來長度縮短，截面也從圓形改成方形或扁圓形，一是為了縮小布算時(shí)所占的面積，二是為了防止算籌滾動(dòng)。王雁斌�睌�(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)：另類世界史［M］�惫鹆郑簭V西師范大學(xué)出版社，2018��


1��1��3姍姍來遲的“0”


仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，羅馬數(shù)字中沒有“0”。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，“0”已經(jīng)傳入羅馬，但羅馬教皇兇殘而且守舊，他不允許任何人使用“0”。據(jù)記載，有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，施以拶刑，這使他再也不能握筆寫字。


雖然我國古代文字中“零”字出現(xiàn)得很早，不過那時(shí)它并不表示“0”，而只表示“零碎”“不多”，如“零頭”“零星”“化整為零”。


我國古代的算籌數(shù)碼中一開始也沒有“零”，遇到“零”就空位，這樣很容易發(fā)生錯(cuò)誤，所以后來就有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯(cuò)，這便是我國最早對(duì)“零”的使用，也有人說這是人類歷史上最早的“零”。不過，也有很多人認(rèn)為，“0”這個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明要?dú)w功于古印度人，他們最早用黑點(diǎn)（·）表示零，后來逐漸變成了“0”。


現(xiàn)在世界上通用的數(shù)字符號(hào)“1、2、3、4、5、6、7、8、9、0”，被人們稱為“阿拉伯?dāng)?shù)字”，實(shí)際上它們是古印度人最早使用的，不過，由于后來阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)，又把這一簡便易寫的記數(shù)符號(hào)傳遍了歐洲，日益為人所知，所以才逐漸演變成了今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。


隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)，“0”在數(shù)字中也頻頻出現(xiàn)，例如，“306”讀作“三百零六”，“零”字與“0”恰好對(duì)應(yīng)，“零”也就具有了“0”的含義。


現(xiàn)在，“0”已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)：“0”既可以表示沒有，也可以表示有，如氣溫0℃，并不是說沒有氣溫；“0”是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪都等于1；0！=1（零的階乘等于1）。


1��1��4數(shù)的進(jìn)位制


進(jìn)位制是記數(shù)的方式，也稱進(jìn)位記數(shù)法或位值記數(shù)法。它可以幫助人們用有限的數(shù)字符號(hào)數(shù)目來表示所有的數(shù)值。一個(gè)進(jìn)位制中可以使用的數(shù)字符號(hào)的數(shù)目稱為基數(shù)或底數(shù)。一個(gè)基數(shù)為n的進(jìn)位制，稱為n進(jìn)位制。王雁斌�睌�(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)：另類世界史［M］�惫鹆郑簭V西師范大學(xué)出版社，2018��


很久以前，人們?cè)谟?jì)數(shù)時(shí)，會(huì)把要計(jì)數(shù)的對(duì)象與他們的手指數(shù)量相比對(duì)，如果和他們兩手的手指數(shù)目相等，他們就將其放在一旁成一組；十個(gè)以上時(shí)，這些對(duì)象就會(huì)被編成較多組。為什么我們要十個(gè)一組地來計(jì)數(shù)？原因很簡單，就是因?yàn)槲覀冇惺畟�(gè)手指頭。許文超�甭�談數(shù)系的發(fā)展［J］�甭尻枎煼秾W(xué)院學(xué)報(bào)，2005（2）��


“十個(gè)手指頭”便是十進(jìn)位制產(chǎn)生的源頭。我國古代的算籌嚴(yán)格遵循十進(jìn)位制，同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計(jì)算方法在當(dāng)時(shí)很先進(jìn)，因?yàn)樵谑澜绲钠渌�地方是到了公�?世紀(jì)末才真正使用十進(jìn)位制的。


除了十進(jìn)位制以外，在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，還出現(xiàn)過五進(jìn)位制、二進(jìn)位制、三進(jìn)位制、七進(jìn)位制、八進(jìn)位制、十六進(jìn)位制、二十進(jìn)位制、六十進(jìn)位制等多種進(jìn)位制。在長期實(shí)際生活應(yīng)用中，十進(jìn)位制最終占了上風(fēng)。


在進(jìn)位制當(dāng)中，數(shù)位的概念很重要。一般來說，d進(jìn)位制有d個(gè)記數(shù)符號(hào)。在十進(jìn)位制中，d=10；在十六進(jìn)位制中，d=16……例如，某數(shù)a3a2a1a0并不表示四個(gè)數(shù)相乘，而是表示該數(shù)有四個(gè)數(shù)位，相應(yīng)數(shù)位d的冪次依次為3、2、1、0，其值是a3×d3+a2×d2+a1×d1+a0×d0。


綜上所述，數(shù)的概念、數(shù)的書寫符號(hào)和十進(jìn)位制的形成都是人類長期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。