目錄
前言
第一版前言
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 集合 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合之間的運(yùn)算 2
1.1.3 區(qū)間和鄰域 2
1.2 函數(shù)及其特性 3
1.2.1 映射 4
1.2.2 函數(shù) 5
1.2.3 函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì) 8
1.3 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 11
1.3.1 反函數(shù) 11
1.3.2 復(fù)合函數(shù) 11
1.4 初等函數(shù) 13
1.4.1 基本初等函數(shù) 13
1.4.2 初等函數(shù)的概念 17
1.4.3 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù) 17
1.5 數(shù)列極限 18
1.5.1 數(shù)列極限的概念 19
1.5.2 收斂數(shù)列的性質(zhì) 22
1.6 函數(shù)的極限 24
1.6.1 當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限 25
1.6.2 當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限 26
1.6.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 28
1.7 兩種特殊的量——無窮小量與無窮大量 29
1.7.1 無窮小量 29
1.7.2 無窮大量 30
1.7.3 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 31
1.8 極限的運(yùn)算法則 31
1.8.1 無窮小的運(yùn)算法則 31
1.8.2 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則 32
1.8.3 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 35
1.9 極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 36
1.9.1 極限的夾逼準(zhǔn)則及應(yīng)用 36
1.9.2 單調(diào)有界準(zhǔn)則及應(yīng)用 38
1.10 無窮小的比較 42
1.10.1 無窮小比較的定義 42
1.10.2 無窮小的等價(jià)代換 43
1.11 函數(shù)的連續(xù)與間斷 45
1.11.1 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念 45
1.11.2 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 46
1.11.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 47
1.11.4 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類 49
1.12 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 51
1.12.1 最大值、最小值定理 51
1.12.2 有界性定理 51
1.12.3 介值定理 52
*1.12.4 一致連續(xù)性 53
本章小結(jié) 54
知識拓展 55
復(fù)習(xí)題1 56
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 58
2.1 函數(shù)的瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)的概念 58
2.1.1 概念引入 58
2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義 60
2.1.3 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 62
2.1.4 幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo) 63
2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 65
2.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 65
2.2.2 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 68
2.2.3 導(dǎo)數(shù)基本公式表 72
2.3 高階導(dǎo)數(shù) 73
2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念 73
2.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算法則 75
2.4 隱函數(shù)以及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 76
2.4.1 隱函數(shù)求導(dǎo)法 76
2.4.2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則 80
2.4.3 相關(guān)變化率 84
2.5 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 85
2.5.1 微分的定義 85
2.5.2 可微與可導(dǎo)的關(guān)系 86
2.5.3 微分的幾何意義 87
2.5.4 微分基本公式和運(yùn)算法則 88
2.5.5 復(fù)合函數(shù)的微分——微分的形式不變性 88
2.5.6 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 89
2.6 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 91
2.6.1 邊際成本 91
2.6.2 邊際收益 91
2.6.3 邊際利潤 92
本章小結(jié) 93
知識拓展 94
復(fù)習(xí)題2 95
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 97
3.1 微分中值定理 97
3.1.1 羅爾中值定理 97
3.1.2 拉格朗日中值定理 100
3.1.3 柯西中值定理 104
3.1.4 中值定理在高考模擬試題中的應(yīng)用 106
3.2 洛必達(dá)法則 109
3.2.1 型未定式的洛必達(dá)法則 109
3.2.2 型未定式 111
3.2.3 其他類型的未定式 112
3.2.4 注意事項(xiàng)舉例 114
3.3 泰勒公式 115
3.3.1 問題的提出 116
3.3.2 系數(shù)的選取 116
3.3.3 誤差的確定 117
3.3.4 泰勒中值定理 118
3.4 函數(shù)性態(tài)的研究 123
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 123
3.4.2 函數(shù)的極值 126
3.4.3 函數(shù)的最大(小)值 129
3.4.4 曲線的凹凸性及拐點(diǎn) 132
3.5 函數(shù)圖形的描繪 141
3.5.1 曲線的漸近線 141
3.5.2 函數(shù)作圖 141
3.6 平面曲線的曲率 143
3.6.1 弧微分 143
3.6.2 曲率及其計(jì)算公式 144
3.6.3 曲率圓與曲率半徑 147
*3.7 方程的近似解 149
3.7.1 二分法 149
3.7.2 牛頓迭代法 151
本章小結(jié) 154
知識拓展 155
復(fù)習(xí)題3 159
第4章 不定積分 162
4.1 不定積分的概念 162
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 162
4.1.2 基本積分表 165
4.1.3 不定積分的性質(zhì) 167
4.2 換元積分法 169
4.2.1 第一類換元積分法 169
4.2.2 第二類換元積分法 175
4.3 分部積分法 181
4.4 有理函數(shù)積分法 185
4.4.1 有理函數(shù)的積分 185
4.4.2 可化為有理函數(shù)的積分 187
本章小結(jié) 190
知識拓展 191
復(fù)習(xí)題4 192
第5章 定積分 194
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 194
5.1.1 中學(xué)基礎(chǔ)知識回顧 194
5.1.2 定積分的定義 197
5.1.3 定積分的基本性質(zhì) 201
5.2 微積分基本定理 208
5.2.1 積分上限函數(shù) 208
5.2.2 微積分基本定理的微分形式與積分形式 209
5.3 定積分的換元積分法與分部積分法 216
5.3.1 定積分的換元積分法 216
5.3.2 定積分的分部積分法 220
5.3.3 定積分第二中值定理 222
5.4 反常積分 224
5.4.1 無限區(qū)間上的反常積分 225
5.4.2 無界函數(shù)的反常積分 227
*5.4.3 反常積分的柯西主值 229
*5.5 反常積分的收斂判別法 230
5.5.1 無限區(qū)間上反常積分的斂散性判別法 231
5.5.2 無界函數(shù)的反常積分的斂散性判別法 235
本章小結(jié) 237
知識拓展 239
復(fù)習(xí)題5 240
第6章 定積分的應(yīng)用 243
6.1 定積分的微元法 243
6.2 定積分的幾何應(yīng)用 245
6.2.1 平面圖形的面積 245
6.2.2 體積 249
6.2.3 平面曲線的弧長 254
6.2.4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 257
6.3 定積分的物理應(yīng)用 259
6.3.1 變力沿直線做功 259
6.3.2 液體的壓力 262
6.3.3 引力 263
6.3.4 質(zhì)量 264
6.4 定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 265
6.4.1 總產(chǎn)量 265
6.4.2 最大利潤 266
6.4.3 消費(fèi)過剩 266
本章小結(jié) 267
知識拓展 268
復(fù)習(xí)題6 269
第7章 常微分方程 271
7.1 微分方程的基本概念 271
7.2 可分離變量的一階方程與齊次方程 276
7.2.1 可分離變量的微分方程 276
7.2.2 齊次方程 279
*7.2.3 可化為齊次的方程 282
7.3 一階線性微分方程 285
7.3.1 一階線性微分方程的概念及求解 285
*7.3.2 伯努利方程 290
7.4 可降階的高階微分方程 292
7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 292
7.4.2 y′′=f(x,y′)型的微分方程 293
7.4.3 y′′=f(y,y′)型的微分方程 294
7.5 高階線性微分方程 298
7.5.1 二階線性微分方程舉例 298
7.5.2 線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 300
*7.5.3 常數(shù)變易法 303
7.6 常系數(shù)線性齊次微分方程 306
7.7 常系數(shù)線性非齊次微分方程 313
7.7.1 f(x)=eλxPm(x)型 314
7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 316
7.7.3 微分算子法 318
*7.8 歐拉方程 323
本章小結(jié) 326
知識拓展 327
復(fù)習(xí)題7 330
*第8章 MATLAB軟件與一元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn) 332
8.1 MATLAB工作環(huán)境與編程 332
8.1.1 MATLAB的安裝與啟動 332
8.1.2 MATLAB工作環(huán)境 332
8.1.3 MATLAB的幫助功能 333
8.1.4 對輸入指令的編輯及部分通用指令 334
8.1.5 MATLAB的基本設(shè)計(jì) 335
8.2 一元函數(shù)微分學(xué)實(shí)驗(yàn) 335
8.2.1 曲線繪圖 335
8.2.2 MATLAB求函數(shù)極限 339
8.2.3 MATLAB求導(dǎo)數(shù) 340
8.2.4 MATLAB求極值和最值 341
8.2.5 MATLAB求方程的根 344
8.2.6 常微分方程符號求解 345
8.3 一元函數(shù)積分學(xué)實(shí)驗(yàn) 347
8.3.1 MATLAB求不定積分 347
8.3.2 MATLAB求數(shù)值積分 348
本章小結(jié) 353
復(fù)習(xí)題8 353
附錄I 二階和三階行列式簡介 354
附錄II 幾種常見的曲線 358
附錄III 積分表 361
附錄IV 部分常用數(shù)學(xué)公式 370
習(xí)題答案與提示 373