目錄
第1章 矩陣 1
1.1 矩陣的概念及特殊矩陣 1
1.1.1 矩陣的概念 1
1.1.2 特殊矩陣 2
1.2 矩陣的運算 3
1.2.1 矩陣的加法運算 3
1.2.2 數與矩陣的乘法 4
1.2.3 矩陣的乘法 5
1.2.4 矩陣的轉置 9
1.2.5 共軛矩陣 10
1.3 分塊矩陣 10
1.3.1 分塊矩陣的概念 10
1.3.2 分塊矩陣的運算 11
1.4 矩陣的初等變換與初等矩陣 14
1.4.1 矩陣的初等變換 14
1.4.2 初等矩陣 16
1.5 行列式 20
1.5.1 n階行列式的定義 20
1.5.2 行列式的性質與計算 26
1.5.3 拉普拉斯定理 33
1.6 逆矩陣 35
1.6.1 逆矩陣的概念與性質 35
1.6.2 分塊矩陣的逆矩陣 37
1.6.3 克拉默法則 38
1.6.4 用初等變換求逆矩陣 40
1.7 矩陣的秩 43
1.8 應用舉例 48
1.8.1 婚姻狀況計算模型 48
1.8.2 斐波那契序列 48
習題1 49
第2章 線性方程組 55
2.1 線性方程組和高斯消元法 55
2.1.1 線性方程組的概念 55
2.1.2 高斯消元法 56
2.1.3 線性方程組解的判定 60
2.2 n維向量 67
2.3 向量組的線性相關性 71
2.4 向量組的秩和最大線性無關組 75
2.5 向量空間 77
2.6 n維向量空間的正交性 80
2.7 線性方程組解的結構 85
2.7.1 齊次線性方程組 85
2.7.2 非齊次線性方程組 92
2.8 應用舉例 95
2.8.1 幾何應用 95
2.8.2 化妝品配置問題 96
2.8.3 偏微分方程數值解中的應用 97
習題2 99
第3章 矩陣的特征值和特征向量 107
3.1 特征值和特征向量的概念與計算 107
3.2 矩陣的相似對角化 113
3.3 實對稱矩陣的對角化 119
3.4 應用舉例 124
3.4.1 人口遷徙模型 124
3.4.2 線性微分方程組 125
習題3 127
第4章 二次型 132
4.1 二次型及其矩陣表示 132
4.2 化二次型為標準形 134
4.2.1 用正交變換化二次型為標準形 134
4.2.2 用配方法化二次型為標準形 139
4.3 正定二次型 141
4.4 應用舉例 144
習題4 147
第5章 線性空間與線性變換 152
5.1 線性空間的定義與性質 152
5.2 維數、基與坐標 155
5.3 基變換與坐標變換 157
5.4 線性變換的基本概念 159
5.5 線性變換的矩陣表示式 161
5.6 應用舉例 164
習題5 166
第6章 數學實驗 169
6.1 數學實驗1 矩陣 169
6.1.1 矩陣的輸入 169
6.1.2 矩陣的運算 171
6.1.3 實驗習題 174
6.2 數學實驗2 線性方程組 174
6.2.1 向量及其運算 174
6.2.2 向量組的秩和線性相關性 175
6.2.3 向量組的正交化 176
6.2.4 求解齊次方程組 177
6.2.5 求解非齊次方程組 177
6.2.6 實驗習題 179
6.3 數學實驗3 矩陣的特征值和特征向量 179
6.3.1 求方陣的特征值和特征向量 179
6.3.2 方陣的對角化 180
6.3.3 對稱矩陣的對角化 182
6.3.4 實驗習題 182
6.4 數學實驗4 二次型 183
6.4.1 二次型為標準形 183
6.4.2 正定二次型的判定 184
6.4.3 實驗習題 184
參考文獻 185
部分習題答案 186