內(nèi)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點下，將代數(shù)與幾何這兩大領(lǐng)域，融合起來教學(xué)和學(xué)習(xí)，會幫助我們從本質(zhì)上更好地理解它們，并產(chǎn)生更多方法。本書的特色是讓代數(shù)與幾何融為一個整體，力求做到“代數(shù)為幾何提供研究工具，幾何為代數(shù)提供直觀背景”，讓讀者從代數(shù)“抽象的”高度，理解高維幾何的意義。全書分為上、下兩冊。本書為上冊，內(nèi)容包括線性方程組與矩陣、行列式的定義與展開、可逆矩陣與矩陣的秩、向量代數(shù)、空間的直線和平面、線性空間、內(nèi)積空間、方陣的特征值與特征向量、二次曲面、二次型，且以二維碼的形式鏈接了部分視頻作為教材的拓展或補充。
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博士 (基礎(chǔ)數(shù)學(xué)/微分幾何), 杭州大學(xué)，1994；碩士 (基礎(chǔ)數(shù)學(xué)/微分幾何), 杭州大學(xué)，1991
目錄
前言
第1章 線性方程組與矩陣 1
1.1 求解線性方程組的Gauss消元法 1
1.2 矩陣與Gauss消元法 7
1.3 矩陣的基本運算 15
1.3.1 矩陣的加法與減法運算 15
1.3.2 矩陣的數(shù)乘運算 16
1.3.3 矩陣的乘法運算 16
1.3.4 矩陣的轉(zhuǎn)置運算 20
本章拓展題 22
第2章 行列式的定義與展開24
2.1 行列式的定義與等價刻畫 24
2.2 行列式的性質(zhì) 32
2.3 行列式的展開與Laplace定理40
2.3.1 行列式按某行 (列) 展開 40
2.3.2 行列式按多行 (列) 展開 46
本章拓展題 51
第3章 可逆矩陣 矩陣的秩54
3.1 可逆矩陣 54
3.2 矩陣的初等變換與矩陣乘法 59
3.3 分塊矩陣的運算 64
3.3.1 分塊矩陣的和、差、數(shù)乘及乘積運算 64
3.3.2 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 67
3.3.3 分塊矩陣的求逆 70
3.3.4 準對角陣及其運算 71
3.4 矩陣的秩 73
3.5 逆矩陣的計算 77
3.6 矩陣秩的等價刻畫 80
3.7 矩陣的秩與線性方程組的解 83
3.8 矩陣運算對矩陣秩的影響 87
本章拓展題 89
第4章 向量代數(shù) 91
4.1 向量及其線性運算 91
4.1.1 向量及其表示 91
4.1.2 向量的加法 92
4.1.3 向量的數(shù)乘 94
4.1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解 .96
4.2 標架與坐標 101
4.2.1 標架、坐標系 101
4.2.2 向量及其線性運算的坐標表示 103
4.3 向量的內(nèi)積 106
4.3.1 向量在軸上的射影 106
4.3.2 向量的內(nèi)積 108
4.3.3 內(nèi)積的坐標表示 111
4.4 向量的外積 114
4.4.1 外積的定義及運算規(guī)律 114
4.4.2 外積的坐標表示 118
4.5 向量的多重乘積 120
4.5.1 向量的混合積及其坐標表示 120
4.5.2 雙重外積 122
第5章 空間的直線和平面 125
5.1 圖形與方程 125
5.1.1 曲面的方程 125
5.1.2 曲線的方程 127
5.1.3 曲面、曲線方程舉例 129
5.2 平面的方程 133
5.3 直線的方程 138
5.4 平面、直線的相互位置關(guān)系 142
5.4.1 兩平面的相互位置關(guān)系 142
5.4.2 直線與平面的位置關(guān)系 143
5.4.3 兩直線的相互位置關(guān)系 145
5.5 平面束及其應(yīng)用 150
第6章 線性空間 155
6.1 線性空間的定義 155
6.2 向量組的線性關(guān)系 160
6.3 向量組的表示及其等價關(guān)系 164
6.4 極大線性無關(guān)組與向量組的秩 167
6.5 維數(shù)、基、坐標 170
6.6 基之間的過渡矩陣、坐標變換 173
6.7 矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系 177
6.8 子空間 184
6.9 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 187
本章拓展題 193
第7章 內(nèi)積空間 195
7.1 歐氏空間的定義及其初步性質(zhì) 195
7.2 標準正交基 201
7.3 酉空間 206
本章拓展題 207
第8章 方陣的特征值與特征向量 208
8.1 特征值與特征向量的定義及計算 208
8.2 特征值與特征向量的性質(zhì)、Hamilton-Cayley定理 211
8.3 矩陣的相似及其性質(zhì)214
8.4 矩陣的相似對角化 216
8.5 實對稱矩陣的相似對角化 223
本章拓展題 228
第9章 二次曲面 230
9.1 柱面、錐面和旋轉(zhuǎn)面 230
9.1.1 柱面 230
9.1.2 錐面 232
9.1.3 旋轉(zhuǎn)面 235
9.2 其他二次曲面 241
9.2.1 橢球面 241
9.2.2 雙曲面 242
9.2.3 拋物面 244
9.3 二次直紋面 249
9.3.1 單葉雙曲面的直紋性 249
9.3.2 雙曲拋物面的直紋性 252
第10章 二次型 258
10.1 二次型的定義及標準形 258
10.2 二次型的矩陣形式與矩陣的合同 263
10.3 二次型的規(guī)范形 267
10.3.1 復(fù)二次型的規(guī)范形 267
10.3.2 實二次型的規(guī)范形 269
10.4 實二次型的正交替換 272
10.5 實二次型的正定性 276
10.6 坐標變換 280
10.6.1 空間直角坐標變換 280
10.6.2 歐拉角 287
10.7 二次曲面的分類 291
10.7.1 二次曲面方程的化簡 291
10.7.2 二次曲面的不變量和半不變量 293
10.7.3 二次曲面方程的化簡與二次曲面的分類 295
10.8曲面的相交.305
10.8.1 相交圖 306
10.8.2 區(qū)域的表示 307
本章拓展題 309
參考文獻 311
附錄 A 312
A.1 數(shù)域 312
A.2 復(fù)數(shù)及其運算 313
A.3 多項式函數(shù) 315
A.4 映射 319
A.5 集合的直積運算的刻畫 324
A.6 群的初步知識 326
A.7 定理 10.7.7 的證明 329
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