內(nèi)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)下，將代數(shù)與幾何這兩大領(lǐng)域，融合起來(lái)教學(xué)和學(xué)習(xí)，會(huì)幫助我們從本質(zhì)上更好地理解它們，并產(chǎn)生更多方法。本書的特色是讓代數(shù)與幾何融為一個(gè)整體，力求做到“代數(shù)為幾何提供研究工具，幾何為代數(shù)提供直觀背景”，讓讀者從代數(shù)“抽象的”高度，理解高維幾何的意義。全書分為上、下兩冊(cè)。本書為上冊(cè)，內(nèi)容包括線性方程組與矩陣、行列式的定義與展開(kāi)、可逆矩陣與矩陣的秩、向量代數(shù)、空間的直線和平面、線性空間、內(nèi)積空間、方陣的特征值與特征向量、二次曲面、二次型，且以二維碼的形式鏈接了部分視頻作為教材的拓展或補(bǔ)充。
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博士 (基礎(chǔ)數(shù)學(xué)/微分幾何), 杭州大學(xué)，1994；碩士 (基礎(chǔ)數(shù)學(xué)/微分幾何), 杭州大學(xué)，1991
目錄
前言
第1章 一元多項(xiàng)式理論 1
1.1 一元多項(xiàng)式 1
1.2 整除理論 7
1.3 最大公因式 12
1.4 因式分解 20
1.5 重根和多項(xiàng)式函數(shù) 25
1.6 代數(shù)基本定理與復(fù)、實(shí)多項(xiàng)式因式分解 29
1.7 有理多項(xiàng)式的因式分解 32
本章拓展題 38
第2章 多元多項(xiàng)式理論 40
2.1 多元多項(xiàng)式 40
2.2 對(duì)稱多項(xiàng)式 45
2.3 結(jié)式及二元高次方程組的求解 51
2.4 多元多項(xiàng)式的幾何 61
2.5 多元高次方程組的消元法簡(jiǎn)介 64
本章拓展題 69
第3章 直和理論與方程組的通解公式 70
3.1 子空間的交與和 70
3.2 直和與正交 75
3.3 矛盾方程組的最小二乘解 80
3.4 廣義逆矩陣及對(duì)方程組解的應(yīng)用 86
本章拓展題 94
第4章 線性映射與線性變換初步 95
4.1 線性映射的定義及運(yùn)算 95
4.2 線性映射的矩陣 98
4.3 線性變換及其矩陣 102
4.4 線性變換的特征理論 109
本章拓展題 112
第5章 線性映射 (續(xù)) 113
5.1 像集與核同構(gòu)映射 113
5.2 像集與核的關(guān)系 118
5.3 商空間與積空間 123
5.3.1 商空間 123
5.3.2 積空間 125
5.4 正交映射歐氏空間的同構(gòu) 128
5.5 鏡面反射 133
5.6 旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)介 138
第6章 等距變換與幾何變換 139
6.1 平面上的等距變換 139
6.1.1 映射 139
6.1.2 平面上等距變換的定義及例子 140
6.1.3 平面上等距變換的性質(zhì) 141
6.1.4 等距變換的坐標(biāo)變換公式及等距變換的分解 143
6.2 平面上的仿射變換 146
6.2.1 平面上的仿射變換的定義與例子 146
6.2.2 平面上仿射變換的性質(zhì) 148
6.2.3 仿射坐標(biāo)系與仿射變換的坐標(biāo)表示 152
6.2.4 平面上仿射變換的分解 153
6.3 空間等距變換 157
6.4 空間仿射變換 161
6.5 變換群與幾何學(xué)二次曲面的度量分類和仿射分類 162
6.5.1 變換群與幾何學(xué) 162
6.5.2 二次曲面的度量分類和仿射分類 164
第7章 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論 165
7.1 不變子空間 165
7.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的存在性和 Jordan-Chevalley分解 172
7.3 方陣的相似對(duì)角化與最小多項(xiàng)式 179
7.4 λ-矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)形 186
7.5 行列式因子與標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性 194
7.6 數(shù)字矩陣相似的刻畫 205
7.7 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性和計(jì)算 210
本章拓展題 216
第8章 線性函數(shù)與歐氏空間的推廣 217
8.1 線性函數(shù)與對(duì)偶空間 217
8.2 雙線性函數(shù) 225
8.2.1 雙線性函數(shù)的矩陣表達(dá) 226
8.2.2 不同基下雙線性函數(shù)度量矩陣的關(guān)系 228
8.2.3 非退化雙線性函數(shù) 228
8.2.4 對(duì)稱/反對(duì)稱雙線性函數(shù) 229
8.3 歐氏空間的推廣 239
8.4 辛空間 244
本章拓展題 251
第9章 射影幾何初步 253
9.1 擴(kuò)大的歐氏平面 253
9.2 射影平面 255
9.3 射影坐標(biāo) 257
9.4 射影幾何的內(nèi)容對(duì)偶原則 261
9.5 交比 265
9.5.1 交比的定義和性質(zhì) 265
9.5.2 一維射影變換 270
9.5.3 二維射影變換 (直射) 272
9.6 透視 274
9.7 配極 278
9.8 Steiner定理和Pascal定理 284
9.9 非歐幾何簡(jiǎn)介 289
9.9.1 射影測(cè)度 289
9.9.2 歐幾何 294
參考文獻(xiàn) 299
附錄 B 300
B.1 幾何基礎(chǔ)簡(jiǎn)介 300
B.1.1 公理法簡(jiǎn)介 301
B.1.2 歐氏幾何公理體系 302
B.1.3 非歐幾何公理體系 303
B.2 整數(shù)理論的一些基本性質(zhì) 304
B.3 等價(jià)關(guān)系與商集 308
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