目錄
《大學(xué)戴學(xué)科學(xué)叢書(shū)》序
前言
符號(hào)說(shuō)明
第1章 行列式 1
1 1 行列式的定義、性質(zhì)與公式 1
1.1.1 行列式的定義 1
1.1.2 行列式的性質(zhì) 1
1.1.3 行列式中的常用公式 2
1.1.4 判斷行列式是否為零的常用方法 4
1.2 定義法 4
1.3 化三角形法 5
1.3.1 對(duì)角錢(qián)以下(上)的元素與某行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例 5
1.3.2 行列式各行(列)元素的和都相同 6
1.3.3 行列式的行(列)遞進(jìn)轉(zhuǎn)化 7
1.4 Vandermonde 行列式法 8
1.4.1 利用性質(zhì)將行列式化成Vandermonde 行列式 8
1.4.2 行列式的元素為乘積之和或能展成乘積之和 9
1.4.3 行列式形似Vandermonde 行列式但變量缺少一方罪 10
1.4.4 ví扭曲rmonde 行列式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 12
1.5 分裂行列式法 14
1.5.1 拆成和 14
1.5.2 拆成積 15
川加邊法 16
1.7 降階法 19
1.7.1 造零法 19
1.7.2 利用行列式的降階定理計(jì)算行列式 20
1.8 遞推法 22
1.8.1 直接遞推法 23
1.8.2 間接通推法 24
1.9 數(shù)學(xué)歸納法 26
1.10 作輔助行列式法 28
習(xí)題1 29
第2章 矩陣?yán)碚?32
2.1 標(biāo)準(zhǔn)單位向量及其應(yīng)用 32
2.2 分塊矩陣的初等變換與矩陣的秩 35
2.2.1 矩陣的初等變換與分塊矩陣的初等變換 35
2.2.2 矩陣秩的求法 38
2.2.3 矩陣秩的等式與不等式 39
2.3 可逆矩陣與伴隨矩陣 45
2.3.1 逆矩陣46
2.3.2 伴隨矩陣 52
2.4 矩陣的三種等價(jià)關(guān)系 56
2.4.1 三種等價(jià)關(guān)系的定義 56
2.4.2 性質(zhì) 56
2.5 矩陣的特征值、特征向量與對(duì)角化 61
2.5.1 矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式 61
2.5.2 矩陣的跡(trace) 70
2.5.3 矩陣的最小多項(xiàng)式 76
2.5.4 矩陣的對(duì)角化 77
2.6 多項(xiàng)式矩陣的Smith 標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用 88
2.6.1 多項(xiàng)式矩陣及其行列式 88
2.6.2 多項(xiàng)式矩陣的初等變換與初等矩陣 89
2.6.3 多項(xiàng)式矩陣的S皿由標(biāo)準(zhǔn)形 90
2.6.4 同時(shí)求矩陣的特征根和特征向量及可對(duì)角化判定 92
2.7 矩陣的分解 94
2.7.1 矩陣的積因子分解 94
2.7.2 和因子分解 119
2.8 幾種特殊的矩陣 122
2.8.1 準(zhǔn)對(duì)角矩陣 122
2.8.2 上(下)三角陣 123
2.8.3 對(duì)稱(chēng)矩陣與反對(duì)稱(chēng)矩陣 124
2.8.4 霖等矩陣 128
2.8.5 事零矩陣 130
2.8.6 對(duì)合矩陣 133
2.8.7 正交矩陣 135
習(xí)題2 137
第3章 線(xiàn)性方程組 143
3.1 Cramer 法則 143
3.2 齊次線(xiàn)性方程組 145
3.2.1 齊戰(zhàn)線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件 145
3.2.2 齊戰(zhàn)線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系及其有關(guān)證明 147
3.2.3 齊次線(xiàn)性方程組的反問(wèn)題 151
3.2.4 基礎(chǔ)解系的簡(jiǎn)便求法 152
3.3 非齊次線(xiàn)性方程組 154
3.3.1 線(xiàn)性方程組有解的判別定理 154
3.3.2 非齊次線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu) 155
3.3.3 非齊次線(xiàn)性方程組的簡(jiǎn)便解法 158
習(xí)題3 161
第4章 多項(xiàng)式 164
4.1 多項(xiàng)式的整除 164
4.1.1 帶余除法 164
4.1.2 整除的定義及性質(zhì) 168
4.2 最大公因式與最小公倍式 170
4.2.1 最大公困式的是義與性質(zhì) 170
4.2.2 多項(xiàng)式的互素 176
4.2.3 最小公倍式 182
4.2.4 多項(xiàng)式最大公困式與最小公倍式的矩陣求法 185
4.3 不可約多項(xiàng)式與因式分解 189
4.3.1 不可約多項(xiàng)式 189
4.3.2 因式分解 192
4.4 多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根 197
4.4.1 多項(xiàng)式函數(shù) 197
4.4.2 多項(xiàng)式的根 197
4.4.3 多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系 202
4.4.4 π次單位根 203
4.4.5 有理棍 205
習(xí)題4 205
第5章 二次型理論 208
5.1 二次型的基礎(chǔ)理論 208
5.1.1 二次型結(jié)性空間與對(duì)稱(chēng)矩陣空間同構(gòu) 208
5.1.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 208
5.1.3 二次型的規(guī)范形(或正規(guī)形) 211
5.2 正定二次型 221
5.2.1 正定、半正定、負(fù)定、半負(fù)定及不定二次型的定義 221
5.2.2 正走矩陣等的判定 222
5.2.3 關(guān)于正定矩陣的一些重要結(jié)論 230
5.2.4 正定與半正定矩陣的應(yīng)用 235
習(xí)題5 251
第6章 線(xiàn)性空間 254
6.1 線(xiàn)性空間的定義與性質(zhì) 254
6.1.1 線(xiàn)性空間的定義 254
6.1.2 線(xiàn)性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì) 255
6.2 向量的線(xiàn)性關(guān)系 255
6.2.1 線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示 255
6.2.2 線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān) 256
6.2.3 向量組的等價(jià) 259
6.2.4 極大錢(qián)性無(wú)關(guān)組 260
6.2.5 Fn 中向量線(xiàn)性關(guān)系的計(jì)算問(wèn)題 261
6.2.6 一般線(xiàn)性空間中向量組的極大無(wú)關(guān)組的求法 264
6.3 基、維數(shù)與坐標(biāo) 266
6.3.1 基、維數(shù)與坐標(biāo)的定義及求法 266
6.3.2 基變換與坐標(biāo)變換 269
6.4 子空間及其交與和 273
6.4.1 于空間 273
6.4.2 生成子空間 278
6.4.3 子空間的交與和 285
6.4.4 同時(shí)求生成子空間交與和的基 289
6.4.5 子空間的直和 292
6.4.6 余子空間 301
6.5 歐氏空間 303
6.5.1 向量的內(nèi)積 303
6.5.2 度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基 305
6.5.3 Schmidt 標(biāo)準(zhǔn)正變化過(guò)程 312
6.5.4 Rm 中向量組的標(biāo)準(zhǔn)正變化與矩陣的正變?nèi)�角分�?313
6.5.5 歐民空間的子空間 317
6.6 線(xiàn)性空間的同構(gòu) 322
6.6.1 同構(gòu)映射與結(jié)性空間同構(gòu)的定義 322
6.6.2 同構(gòu)映射的性質(zhì) 322
習(xí)題6 325
第7章 線(xiàn)性變換 328
7.1 線(xiàn)性變換的定義、運(yùn)算與矩陣 328
7.1.1 線(xiàn)性變換的定義及其性質(zhì) 328
7.1.2 線(xiàn)性變換的運(yùn)算 330
7.1.3 線(xiàn)性變換的矩陣 332
7.1.4 線(xiàn)性變換的核與值埔 335
7.2 不變子空間、特征根與特征向量 344
7.2.1 不變子空間 344
7.2.2 線(xiàn)性變換的特征根與特征向量 349
7.2.3 特征子空間 355
7.2.4 線(xiàn)性變換的對(duì)角化 362
7.3 正交變換、對(duì)稱(chēng)變換與反對(duì)稱(chēng)變換 369
7.3.1 正變變換 369
7.3.2 對(duì)稱(chēng)變換 374
7.3.3 反對(duì)稱(chēng)變換 381
7.3.4 正變變換、對(duì)稱(chēng)變換及反對(duì)稱(chēng)變換的關(guān)系 381
7.4線(xiàn)性變換與矩陣一一對(duì)應(yīng)的應(yīng)用 383
7.4.1 用矩陣?yán)碚撟C明線(xiàn)性變換的問(wèn)題 383
7.4.2 用錢(qián)性變換的理論證明矩陣問(wèn)題 385
7.4.3 矩陣和線(xiàn)性變換交替使用 388
習(xí)題7 388
習(xí)題答案與提示 394
主要參考文獻(xiàn) 452
索引 453
《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書(shū)》已出版書(shū)目 458