第IV部分?jǐn)?shù)學(xué)的各個(gè)分支
　　IV.1 代數(shù)數(shù)
　　Barry Mazur 
　　這個(gè)分支的根可以追溯到古希臘,它的枝葉卻觸及現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的方面.如果真有所謂“奠基性的著作”,那么,對(duì)于數(shù)論的現(xiàn)代態(tài)度的起源,這就要算是最初在1801年問(wèn)世的高斯[Ⅵ.26]的《數(shù)論研究》(DisquisitionesArithmeticae)這部書(shū).當(dāng)代研究中許多尚未達(dá)到的目的都已經(jīng)可以在高斯的著作里見(jiàn)到,至少是出現(xiàn)了胚胎形式.
　　本文的意圖就是給有志于學(xué)習(xí)和思索代數(shù)數(shù)經(jīng)典理論的某些方面的讀者提供一個(gè)指南.想要懂得代數(shù)數(shù)理論的很大一部分,想要領(lǐng)略它的美,都只需要最少限度的理論背景.對(duì)于每一位打算踏上這條旅程的讀者,我建議在自己的背包里帶上高斯的《數(shù)論研究》,以及Davenport的TheHigherArithmetics(1992),后一本書(shū)可以說(shuō)是講解這門(mén)學(xué)科的珍寶,它對(duì)于奠基性的思想的講解既清楚又深入,而且?guī)缀鯖](méi)有用到高中以外的數(shù)學(xué)知識(shí).
　　1. 2 的平方根
　　代數(shù)數(shù)和代數(shù)整數(shù)的研究是從通常的有理數(shù)和整數(shù)的研究開(kāi)始的,而又經(jīng)常要回溯到對(duì)它們的研究.第一批代數(shù)無(wú)理性開(kāi)始并不是作為數(shù)出現(xiàn)的,而是作為對(duì)幾何問(wèn)題的障礙出現(xiàn)的.
　　正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)的比不能表示為整數(shù)之比,傳說(shuō)是早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一樁心病.但是正是這個(gè)比,平方以后卻是2:1,所以我們可以代數(shù)地對(duì)待它——而后來(lái)的數(shù)學(xué)家們確實(shí)這樣做了.我們可以把這個(gè)比當(dāng)作一個(gè)沒(méi)有什么內(nèi)容的密碼,而我們所知的僅僅是：“它的平方等于2”(這也就是后來(lái)的數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克[Ⅵ.48]對(duì)于代數(shù)數(shù)的觀點(diǎn),這一點(diǎn)下面還會(huì)看到).可以用種種不同的方式來(lái)寫(xiě)出√2, 例如√2= |1 . i| . (1) 
　　我們還會(huì)想到1 . i=1 . e2πi/4,因此它是最早的三角和,在下面會(huì)看到這一點(diǎn)對(duì)于二次根式(surd)的推廣.也可以把√2 看成是各種無(wú)限序列的極限,其中之一是由
　　漂亮的連分?jǐn)?shù)[Ⅲ.22]給出的： 
　　√2 = 1 + 2 + 1 1 . (2) 
　　2 + . .. 
　　與連分?jǐn)?shù)(2)直接相關(guān)的有下面的丟番圖方程 
　　2X2 . Y 2 =±1, (3) 
　　
　　稱(chēng)為佩爾(Pell)方程.有無(wú)數(shù)多對(duì)整數(shù)(x,y)滿(mǎn)足這個(gè)方程,而相應(yīng)的分?jǐn)?shù)就是把
　　(2)式切斷所得到的有限分?jǐn)?shù),例如,(3)的前幾個(gè)解是(1,1),(2,3),(5,7),(12,17),