高等代數教程除了第0 章“整數, 數域與多項式”外, 將“線性代數” 內容分為上下兩篇, 上篇以較為具體的“線性方程組的一般理論問題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線索組織“線性空間理論”, 并在問題的討論中充分使用它; 下篇以“實二次型的主軸問題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線索組織“線性變換理論”, 并在問題的討論中充分使用它, 這是宏觀框架, 詳見目錄. 其微觀處理, 則以“線性相關性” 這一“線性代數” 的核心概念貫穿始終, 且使用了許多獨特的處理方法和技巧. 每章后的習題之外, 貫穿于各章節(jié)中的諸多“注” 提供了若干思考問題. 另外, 高等代數教程在“現代化處理上” 實現了內容上的諸多“更新”(語言上的, 開發(fā)路線上的, 證明方法上的, …), 也給出了內容上的適當的“增新” (諸如引進了出現于28 年前的“關于多項式的FermAt 大定理的初等證明”).
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目錄
序言
前言
第0章 整數，數域與多項式 1
0.1 集合，映射與運算 1
0.2 整數 6
0.3 數域 11
0.4 多項式與多項式函數 12
0.5 帶余除法，余數定理和零點-因子定理 17
0.6 最大公因式與最小公倍式 18
0.7 因式分解與重因式 24
0.8 C,R和Q上的多項式 31
0.9 關于多項式的Fermat大定理的一個初等證明 36
習題0 40
上篇 線性方程組的一般理論問題
引言 線性方程組，消元解法及其在增廣矩陣上的實現 49
習題 56
第1章 矩陣代數 58
1.1 矩陣代數 58
1.2 分塊矩陣 64
1.3 矩陣的初等變換與等價標準形 71
習題1 74
第2章 一類特殊線性方程組的行列式法則（Cramer法則） 78
2.1 n階（方陣的）行列式 78
2.2 行列式的基本性質（特別地，方陣代數與行列式）及其應用 81
2.3 線性方程組的Cramer法則 90
2.4 行列式的漸式 95
2.5 行列式的（一種）公理化定義 97
習題2 99
第3章 線性方程組的一般理論 105
3.1 n元向量的線性相關性與方程組的求解問題 105
3.2 矩陣的秩與方程組的求解問題 110
3.3 線性方程組的解的結構 117
習題3 127
第4章 線性空間與線性方程組 133
4.1 線性空間與其子空間 133
4.2 維數，基底，坐標與Cramer法則 137
4.3 坐標變換與Cramer法則 143
4.4 線性空間的同構與線性方程組理論的一個應用 148
4.5 線性方程組解集的幾何結構 151
習題4 153
第5章 對稱雙線性度量空間與線性方程組 158
5.1 線性空間上的線性和雙線性函數 158
5.2 對稱雙線性度量空間與線性方程組可解的幾何解釋 163
5.3 Euclid空間 166
5.4 向量到子空間的距離與線性方程組的最小二乘法 174
習題5 179
下篇 實二次型的主軸問題
引言 二次型主軸問題的幾何原型 185
1 二次型的一般問題 186
2 從二次曲線講起——實二次型主軸問題的幾何原型 187
習題 193
第6章 線性空間上的線性變換 194
6.1 線性變換及其合成和矩陣表示 194
6.2 不變子空間，特征根與特征向量 204
6.3 特征多項式與最小多項式 208
6.4 Cayley-Hamilton定理的傳統(tǒng)證明 221
習題6 222
第7章 線性空間關于線性變換的一類直和分解 230
7.1 線性映射（特別地，線性變換）的像與核 230
7.2 線性空間關于線性變換的一類直和分解 236
習題7 241
第8章 Euclid空間上的兩類線性變換與二次型主軸問題 242
8.1 正交變換與對稱變換 242
8.2 二次型的主軸問題 246
8.3 一個應用（將一對實二次型同時化簡為平方和）253
8.4 二次型的一般問題 259
習題8 276
第9章 引申——一般矩陣的（相似）標準形 280
9.1 λ矩陣及其等價標準形 280
9.2 λ矩陣的行列式因子，不變因子和初等因子 285
9.3 矩陣的相似與其特征矩陣的等價 289
9.4 矩陣的不變因子與Frobenius(有理）標準形 292
9.5 矩陣的初等因子與Jacobson標準形（特例為Jordan標準形） 295
9.6 Jordan標準形的幾何解釋 302
習題9 304
參考文獻 308
索引 309
第 0章整數,數域與多項式
線性代數 (或稱一次代數)的討論必然要使用多項式的一些基本概念,這是本書要介紹一點多項式的基本概念的直接緣由.另外,多項式作為代數學中最基本的對象之一,在代數學的各個分支以及其他數學學科中,或者構成其基本內容,或者多多少少要被涉及,所以本書作為一本基礎教程對它作一點起碼的介紹,也有更廣泛的意義.
這里要介紹的多項式的一些最基本的事項與整數的許多基本事項是平行的,兩相對照十分有趣,這又是要先講一點整數的原因.
數量領域內的代數學,問題的討論常常需要事先明確解決問題的數量范圍.數量的加、減、乘、除等合成的性質通常稱為數量的代數性質,而數量的代數學所研究的問題基本上涉及的就是數量的代數性質,它們是有理數全體、實數全體和復數全體所共有的,為此,我們要引入數域這一基本概念,作為我們討論數量領域內代數學的一個基礎.
本章乃至全書的討論要使用一些集合論的語言,因此,我們的 0.1節(jié)先用于回顧集合及其相關概念,井盡量將它們精確化.
0.1集合,映射與運算
集合是數學中少數不加定義的概念 (稱為元概念)之一,它被界定為具備某種性質的對象的全體.關于整數,依我們的經驗,它們是
0, ±1, ±2, , ±n, .
而整數的全體 Z就是一個集合,稱 Z為整數集.構成一個集合 A的每一個對象稱為這一集
合的一個元素,這一關系,記為 x ∈A,稱為 “x屬于A”;否則記為 x/∈A,稱為 “x不屬于A”.例如, .2 ∈Z, 12
∈/Z.
不含任何元素的集合稱為空集,記為 所謂一個集合是己知的,指的是構成 A的全體對象是己知的.因此,刻畫一個集合,就是闡述這個集合是由哪些元素構成的.要闡述這一點,一個直截了當的方法就是將這個集合的全部對象羅列出來,這對于由有限個元素組成的集合 (稱為有限集,否則稱為無限集,通常用 |A|表示集合 A含元素的個數),都是行得通的,例如,由 1, 2, 3組成的集合 A,我們就可以用這一羅列法將 A表示為
A = {1, 2, 3}; (0.1)
這一方法對于某些無限集也可以使用,例如,整數集 Z可表示為
但是,更一般的闡述方法是使用定義這一集合的性質.于是,如果集合 A是由具有性質 P的所有對象構成的,那么我們就可以表示 A為
A = {x | x具有性質 P }.
例如,平面上落在雙曲線 x2 . y2 =1上的點 (x, y)的全體 M,就可寫為
M = {(x, y) | x 2 . y 2 =1};
又如, Z可以寫為 Z = {x | x是整數}.
前面的羅列法也可歸為后面的這一闡述方法,例如,式 (0.1)中的 A可以寫為 A = {x | x =1, 2, 3},
此時,所使用的性質 P是 P =“x是 1,或者 2,或者 3”.任給兩個集合 A, B,我們可以使用下述各種合成的方法構造一些新的集合: C1 = {x | x ∈ A,或 x ∈ B}, C2 = {x | x ∈ A,且 x ∈ B}, C3 = {x | x ∈ A,且 x/∈ B}, C4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B},
分別記它們?yōu)?nbsp;
C1 = A ∪ B, C2 = A ∩ B, C3 = A . B, C4 = A × B,
且分別稱 C1,C2,C3和 C4為集合 A與 B的井,交,差和 DescArtes積.
除了集合之間的上述基本合成 (它們原則上都可以由兩個集合推廣到多個集合)外,集合間還有一種基本關系,稱為包含 (或包含關系).
令 A, B為兩個集合.稱 A包含在集合 B中 (或稱 B包含 A,也稱 A為 B的子集),記為 A . B,即如果 x ∈ A意味著 x ∈ B.例如,對于式 (0.1)中的 A,有 A . Z;稱 A與 B相等,記為 A = B,如果 A . B,且 B . A,即 A與 B是同一個集合;稱 A真包含在 B中 (或稱 B真包含 A,也稱 A是 B的真子集),即如果 A . B,但 A 任何集合 A以自身 A
= B.和空集 .為自己的子集,這兩個子集稱為平凡子集.若 A = {1, 2, 3},則 A的所有子集為
., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},A,
其中前 7個子集是真子集,中間 6個子集是非平凡子集.
B的井,變,差和 DescArtes積.現在,我們可以再介紹集合的另外兩種合成了.
d
x∈ S1} ( d
C5 ={ x | x ∈ S| =表示用右邊定義左邊)
和
d
C6 ={ A | A. S}
的差相聯系, S1 = S . S1.
下面我們要回顧的是作為函數推廣的所謂集合間的映射的概念.
A在 f下的象, A為 b在 f下的一個原象.
f : A.→ B A = f(A).
.→ b稱 A(B)為 f的定義域 (值域),記 A = D(f),B = R(f).又令 Imf= { b∈ B | (. A ∈ A) f(A)= b} , f.1(b)= { A∈ A | f(A)= b} ,b∈ B.
例如,若記 2Z = { 2n | n∈ Z} ,
f: Z .→ 2Z .→ 4 | 其中 | n|表示 n∈ Z的絕對值.此時,
Imf = { 4 | n |n∈ Z} = { 0,4,8,12,} .對于任意 m∈ 2Z,
讀考查取 (0.1)與 及 與者可以為式 中的 和 為 來一下 的包含關系以AABZABA集子集即令 為一合 為它的分別稱.SSSS,,.11 辛旱S()(2);記記與集為 在 中的集和 的集 分別為為 后者也為 兩合PSSSCSCS,,1516定義 0.1.1集映每令 為兩個合 到的一個射是一個法則 使得 中的一A,BABfA.,按唯應 (),與 此記個元素 照這一法則都一確定 中的一個元素 對時 稱 為Bbbfb=AAA,,們映用面我表示 到的一個射 通常下的方式:ABf象完全原象們分別稱它為 的和 在 下的∈fbBf.讓 應于4 們有映則對時 我一射||∈ Znn,()(0.2) | f=nnn,
{ 0} ,
f.1(m)=
m m
,當 m>0,且 m為 4的倍數時,
, .
當 m=0時,
4 4
.,其他情況.
映射 f : A .→ B和 g : A .→ B稱為相等的,如果 (. A ∈ A) f(A)= g(A).稱映射 f : A .→ B是一個單射,或 1 . 1映射 (滿射,或到上的映射),如果 (. b ∈ B) | f.1(b) | : 1(Imf = B),或者說,(. A1,A2 ∈ A) A1 = A2 . f(A1)= f(A2)((. b ∈ B)| f.1(b) | . 1),
即 A中不同的元素在 f下的象也不同 (B中的每一個元素都是 A中的某一個元素在 f下的象),其中 | D |表示集合 D中含元素的個數.稱映射 f : A .→ B是一個雙射,或一一對應,如果 f既是一個單射,又是一個滿射.式
(0.2)中的映射顯然既不是單射,也不是滿射.下面的映射 f1 : Z .→ Z
n .→ 2n, f2 : Z .→ { 1, 2}
1, 當 2 ↑ n時,
n .→f3 : Z .→ 2Z 2,當 2 | n時,
n .→ 2n,
顯然 , f1,f2,f3分別是一個單射但非滿射、滿射但非單射、雙射的例子.我們可以借助己知的映射
f : A .→ B, g : B .→ C,
用下面的方法定義一個新的映射
h : A .→ C
A .→ g(f(A)),記 h = g . f,稱為 f與 g的合成.顯然,這一合成是滿足結合律的,即對于任何映射
f : A .→ B, g : B .→ C, h : C .→ D,
有
h . (g . f)=(h . g) . f.定理 0.1.1映射 f : A .→ B是一個單射 (滿射)當且僅當存在 g : B .→ A,使得 g . f = iA (f . g = iB),其中 iA為 A到自身的所謂恒等映射,即對于任何 A ∈ A, iA(A)= A.
證明若映射 f : A .→ B是一個單射,則對于任何 b ∈ B, | f.1(b) | : 1.任意取定 A中一元素 A0,當 | f.1(b) | =0(即 f.1(b)= .)時,讓 A0與 b對應;當 | f.1(b) | =1時,令 f.1(b)= { A} ,則讓 A與 b對應.這一對應就確定一映射 g : B .→ A.顯然,對于任意 A ∈ A,
(g . f)(A)= g(f(A)) = A,
即 g . f = iA.反之,若存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,
的 的),有
則對于任意 A, A∈ A,由 f(A)= f(A
A = iA(A)=(g . f)(A)= g(f(A)) = g(f(A的)) = (g . f)(A的)
= iA(A的)= A的.
因此, f是單射.若 f是一個滿射,則 Imf = B,即對于任一 b ∈ B, f.1(b)= 現對于任一 b ∈ B,在 f.1(b)中取一 A,作
g : B .→ A
b .→ A.
于是,對于任意 b ∈ B, (f . g)(b)= f(g(b)) = f(A)= b,
即 f . g = iB.反之,若存在 g : B .→ A,使得
f . g = iB,
則對于任一 b ∈ B, b = iB(b)=(f . g)(b)= f(g(b)) ∈ Imf,
因此 ,Imf = B,即 f是一個滿射.口由定理 0.1.1及其證明 (當 f既是一個單射又是一個滿射的時候,證明中所作出的兩個
g : B .→ A實際上是同一個),我們有如下推論.推論 0.1.1映射 f : A .→ B是一個雙射當且僅當存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,f . g = iB.
定義 0.1.2當推論 0.1.1的充要條件成立時,稱 f為可逆映射,顯然, g由 f唯一確定,
記 g = f.1 ,稱為 f的逆映射.于是,推論 0.1.1又可陳述為推論 0.1.2映射 f為雙射當且僅當 f為一可逆映射.
在這一節(jié)的最后,我們給出兩類特殊的映射.
一類映射是 f : A .→ A,我們稱此類映射 f為集合 A上的變換,也稱它們?yōu)?A上的一元運算.例如,取 A = {1, 2, 3}, A上的變換可以寫成
. .
1 2 3
f = ,
i1 i2 i3
其中 ij = f(j).而每一 ij都有三種選擇 (1,或 2,或 3),因此, A = {1, 2, 3}上的變換恰有 27
個.
另一類映射是, f : A ×A .→A,我們稱此類映射 f為 A上的二元運算.
例如,通常的加法 “+”就是 Z上的一個二元運算.
+: Z ×Z .→Z
(n, m) .→n + m.
通常的減法 “.”,乘法 “×”也一樣.但通常的除法 “÷”則不是 Z上的一個二元運算,即
(n, m) .→n ÷m, n,m ∈Z
不是 Z ×Z到 Z的一個映射.
0.2整數
對于整數
0, ±1, ±2, , ±n,
以及整數集 Z關于加、減、乘運算和關系 “:”的基本事項,我們都使用讀者至今積累起來的經驗.在這里我們對整數的討論就從這些經驗和下面的一個公理出發(fā).
良序公理令 S .{n | n ∈Z,n 0}. (0.3)
若 S = .,則 S中有最小元素 (即
. n0 ∈S, .n ∈S, n0 : n).
注 0.1式 (0.3)中的 0可以被任何整數替代.
應用非負整數的良序公理,我們可以證明非負整數的另一個稱為數學歸納法的性質.我們在此陳述這一性質的兩種基本形式,但只證.二個,另一個的證明讀者自行作出.
第一數學歸納法令 Pn是以非負整數 0, 1, 2, 為下標的一列命題.若
(1) P0為真,
(2)對于任意 k 0, “Pk為真”意味著 “Pk+1為真”,則對于任意 n 0, Pn為真.
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