第1章群論
群只有一種代數(shù)運(yùn)算，因此比較容易深入討論．群的左右單位元和逆元的相關(guān)問(wèn)題應(yīng)該仔細(xì)討論，元素的階對(duì)揭示群的結(jié)構(gòu)起著重要的作用，通過(guò)群的階可以給出群的一些重要性質(zhì)，但一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)不同元素的階無(wú)法決定它們的乘積的階，元素的階是研究群的一個(gè)重要工具．子群繼承了群的一些重要性質(zhì)，通過(guò)子群可以了解群的很多性質(zhì)，但群與子群的關(guān)系是復(fù)雜而密切的．正規(guī)子群是一個(gè)重要的概念，具有很好的性質(zhì)．對(duì)稱群是一類性質(zhì)比較清楚的群，它給群提供了很多重要而簡(jiǎn)明的反例．群的同態(tài)和同構(gòu)讓不同的群可以比較，使得群的分類簡(jiǎn)單明了。
1.1群的定義
1.1.1二元運(yùn)算
問(wèn)題1.1.1二元運(yùn)算是什么？
從SxS到S的一個(gè)映射，稱為S上的一個(gè)二元運(yùn)算
問(wèn)題1.1.2SxS上的映射，都是S上的一個(gè)二元運(yùn)算嗎？
不一定。設(shè)S一{(a1，n2，a3)a1，n2，a。都是實(shí)數(shù)）是3維歐氏空間，則內(nèi)積不再是向量，因此內(nèi)積不是二元運(yùn)算。
1.1.2群的定義
問(wèn)題1.1.3什么是群？
設(shè)G是一個(gè)非空集合，若在G上定義一個(gè)二元運(yùn)算，滿足
(1)結(jié)合律：對(duì)任何n扣，c∈G，有，則稱G是一個(gè)半群(sem1group)，記作(G)若(G)還滿足。
(2)存在單位元，使對(duì)任何有