本書系作者在近年來為北京大學(xué)本科生所開設(shè)的一門數(shù)學(xué)與自然科學(xué)類通選課的講義基礎(chǔ)上經(jīng)補充、修改而成。全書共分八講，分別討論數(shù)學(xué)中的基本哲學(xué)問題，數(shù)學(xué)悖論的意義，對稱概念與藝術(shù)和社會學(xué)的聯(lián)系，葉序等生物學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，變分問題的簡要歷史和意義，作為一種數(shù)學(xué)模式的最小二乘法，概率統(tǒng)計方法的應(yīng)用和意義等課題。本書力圖從一個更為基本的觀點闡明數(shù)學(xué)的本質(zhì)與意義，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的關(guān)系；說明應(yīng)如何認(rèn)識、理解與把握數(shù)學(xué)。全書試圖從一個與經(jīng)典數(shù)學(xué)教材不同的角度講授有關(guān)內(nèi)容，強調(diào)對問題的整體理解，避免過分的形式化，當(dāng)然也包含有為說明問題所必須的推導(dǎo)；強調(diào)把握思想而不是具體的方法和技巧。
本書可作為綜合大學(xué)、師范院校數(shù)學(xué)與自然科學(xué)類通選課教材，也可供高等院校數(shù)學(xué)模型課程作為參考教材或輔助讀物，或供高等院校其他專業(yè)師生或中學(xué)數(shù)學(xué)教師及各類工程科技人員閱讀參考。
第一講 數(shù)學(xué)模型、模式與文化
1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模式
2 數(shù)學(xué)哲學(xué)基本問題及不同回答
2.1 數(shù)學(xué)哲學(xué)基本問題
2.2 數(shù)學(xué)哲學(xué)的兩大流派——理性主義和經(jīng)驗主義
2.3 數(shù)學(xué)形態(tài)的歷史演化
2.4 邏輯主義、直覺主義和形式主義——數(shù)學(xué)的真理性
2.5 如何看待數(shù)學(xué)證明？
2.6 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史經(jīng)驗
3 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)
4 數(shù)學(xué)與藝術(shù)
參考文獻(xiàn)
第二講 淺談悖論
1 悖論的三種情況
2 幾個有趣的悖論
3 一個引發(fā)悖論的重要模式——自指
4 哥德爾不完全性定理的證明線索
5 圖靈停機(jī)問題
6 任意大的集合基數(shù)
7 文學(xué)、美術(shù)、音樂和中國古代文獻(xiàn)中的悖論
8 預(yù)言可能嗎？
參考文獻(xiàn)
第三講 對稱群、裝飾圖案、血緣關(guān)系
1 從平面幾何說起
2 對稱概念與群的數(shù)學(xué)定義
3 花邊、壁紙、艾舍爾的畫及其他
4 群與血緣關(guān)系
參考文獻(xiàn)
第四講 斐波那契序列及有關(guān)模型
1 斐波那契的兔子
2 花瓣的數(shù)目與葉子的排列
3 鳳梨鱗片排列方式的幾何描述
4 向日葵花盤上的螺線模式
5 葉序的數(shù)學(xué)物理解釋，從物理考慮出發(fā)的計算機(jī)模擬
6 斐波那契序列的其他表達(dá)方式
7 斐波那契序列與游戲和魔術(shù)
附錄 斐波那契序列的一個性質(zhì)
參考文獻(xiàn)
第五講 有關(guān)生命現(xiàn)象的幾個數(shù)學(xué)模型
1 元胞自動機(jī)的基本概念
2 康維的生命游戲
3 圖靈擴(kuò)散
4 關(guān)于性別比的數(shù)學(xué)討論
參考文獻(xiàn)
第六講 速降線問題與變分法
1 一段有趣的歷史和速降線問題
2 速降線問題的雅格布·伯努利解法
3 幾何學(xué)中的海倫——速降線的奇妙性質(zhì)
4 變分問題的數(shù)學(xué)討論
4.1 速降線問題的變分提法
4.2 變分問題的其他實例
4.3 求解變分問題的途徑一一歐拉方程
4.4 幾點說明
5 物理學(xué)中的變分原理
6 經(jīng)典變分問題的發(fā)展——控制論模型
6.1 控制論的數(shù)學(xué)模型
6.2 一個血糖含量的控制問題
附錄 多變量函數(shù)積分給出的變分問題
參考文獻(xiàn)
第七講 從最小二乘法談起
1 可由最小二乘法求解的問題實例
……
第八講 駕馭偶然性
學(xué)生自擬論文題目選輯
第一講 數(shù)學(xué)模型、模式與文化
本書的首要目的是通過對若干數(shù)學(xué)模型和模式的介紹，探討什么是數(shù)學(xué)，如何看待數(shù)學(xué)的起源和特點，如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的抽象性和邏輯嚴(yán)密性，如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的真理性和實踐性，如何認(rèn)識數(shù)學(xué)與其他人文及自然科學(xué)的關(guān)系，所涉及的模型和模式主要是作為討論問題所必須的媒介及傳達(dá)思想的載體。我們試圖從一個更基本的角度，和讀者一起探討數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把握學(xué)習(xí)、研究和運用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，提高對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和素養(yǎng)。本書的第二個目的是在前述框架之下，盡可能介紹一些有用的數(shù)學(xué)知識，以滿足部分對數(shù)學(xué)本身要求較多的讀者之需要。但應(yīng)說明，全書的內(nèi)容都保持在基本數(shù)學(xué)知識的范圍內(nèi)。
這一講是全書的緒論，試圖討論的主要內(nèi)容是如何從整體上認(rèn)識與理解數(shù)學(xué)，如何看待數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系。筆者認(rèn)為：要掌握數(shù)學(xué)，不僅要熟悉數(shù)學(xué)特定的內(nèi)容、方法和語言，還要把握數(shù)學(xué)背后的哲學(xué)思想，養(yǎng)成正確的思維方式和恰當(dāng)?shù)男睦頎顟B(tài)；對數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識不僅僅是一種看法、一種知識，它直接影響我們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)與研究數(shù)學(xué)，追求什么樣的數(shù)學(xué)。本講的很多內(nèi)容應(yīng)屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論范疇，也就是說不屬于數(shù)學(xué)本身，而是“關(guān)于數(shù)學(xué)”的各種說法。在一些人看來，這是一個費力不討好的題目，英國著名數(shù)學(xué)家、劍橋分析學(xué)派的代表人物哈代（G.H.Hardy）就曾直言不諱地說過：“一個職業(yè)數(shù)學(xué)家如果發(fā)現(xiàn)自己在寫關(guān)于數(shù)學(xué)的東西，一種憂傷之情將油然而生。數(shù)學(xué)家的職責(zé)是實干，證明新的定理，擴(kuò)展數(shù)學(xué)知識，而不是津津樂道于自己或其他數(shù)學(xué)家已經(jīng)做過的事情。政治家瞧不起時事評論家，畫家瞧不起藝術(shù)批評家，生物學(xué)家、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家們通常也有類似的感情，沒有比實干者對評論家的蔑視更深刻、更有理了。解釋、批評、鑒賞是二等智力的活兒�！惫Q，他只是由于年逾花甲，不再擁有新鮮的智力和充沛的精力，無法從事充滿挑戰(zhàn)和創(chuàng)造活力的數(shù)學(xué)研究，才轉(zhuǎn)而來寫“關(guān)于數(shù)學(xué)”的文章。
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