本書系作者在近年來為北京大學本科生所開設(shè)的一門數(shù)學與自然科學類通選課的講義基礎(chǔ)上經(jīng)補充、修改而成。全書共分八講，分別討論數(shù)學中的基本哲學問題，數(shù)學悖論的意義，對稱概念與藝術(shù)和社會學的聯(lián)系，葉序等生物學規(guī)律的數(shù)學表達，變分問題的簡要歷史和意義，作為一種數(shù)學模式的最小二乘法，概率統(tǒng)計方法的應用和意義等課題。本書力圖從一個更為基本的觀點闡明數(shù)學的本質(zhì)與意義，數(shù)學與其他科學的關(guān)系；說明應如何認識、理解與把握數(shù)學。全書試圖從一個與經(jīng)典數(shù)學教材不同的角度講授有關(guān)內(nèi)容，強調(diào)對問題的整體理解，避免過分的形式化，當然也包含有為說明問題所必須的推導；強調(diào)把握思想而不是具體的方法和技巧。
本書可作為綜合大學、師范院校數(shù)學與自然科學類通選課教材，也可供高等院校數(shù)學模型課程作為參考教材或輔助讀物，或供高等院校其他專業(yè)師生或中學數(shù)學教師及各類工程科技人員閱讀參考。
第一講 數(shù)學模型、模式與文化
1 數(shù)學模型與數(shù)學模式
2 數(shù)學哲學基本問題及不同回答
2.1 數(shù)學哲學基本問題
2.2 數(shù)學哲學的兩大流派——理性主義和經(jīng)驗主義
2.3 數(shù)學形態(tài)的歷史演化
2.4 邏輯主義、直覺主義和形式主義——數(shù)學的真理性
2.5 如何看待數(shù)學證明？
2.6 數(shù)學發(fā)展的歷史經(jīng)驗
3 數(shù)學與計算機科學
4 數(shù)學與藝術(shù)
參考文獻
第二講 淺談悖論
1 悖論的三種情況
2 幾個有趣的悖論
3 一個引發(fā)悖論的重要模式——自指
4 哥德爾不完全性定理的證明線索
5 圖靈停機問題
6 任意大的集合基數(shù)
7 文學、美術(shù)、音樂和中國古代文獻中的悖論
8 預言可能嗎？
參考文獻
第三講 對稱群、裝飾圖案、血緣關(guān)系
1 從平面幾何說起
2 對稱概念與群的數(shù)學定義
3 花邊、壁紙、艾舍爾的畫及其他
4 群與血緣關(guān)系
參考文獻
第四講 斐波那契序列及有關(guān)模型
1 斐波那契的兔子
2 花瓣的數(shù)目與葉子的排列
3 鳳梨鱗片排列方式的幾何描述
4 向日葵花盤上的螺線模式
5 葉序的數(shù)學物理解釋，從物理考慮出發(fā)的計算機模擬
6 斐波那契序列的其他表達方式
7 斐波那契序列與游戲和魔術(shù)
附錄 斐波那契序列的一個性質(zhì)
參考文獻
第五講 有關(guān)生命現(xiàn)象的幾個數(shù)學模型
1 元胞自動機的基本概念
2 康維的生命游戲
3 圖靈擴散
4 關(guān)于性別比的數(shù)學討論
參考文獻
第六講 速降線問題與變分法
1 一段有趣的歷史和速降線問題
2 速降線問題的雅格布·伯努利解法
3 幾何學中的海倫——速降線的奇妙性質(zhì)
4 變分問題的數(shù)學討論
4.1 速降線問題的變分提法
4.2 變分問題的其他實例
4.3 求解變分問題的途徑一一歐拉方程
4.4 幾點說明
5 物理學中的變分原理
6 經(jīng)典變分問題的發(fā)展——控制論模型
6.1 控制論的數(shù)學模型
6.2 一個血糖含量的控制問題
附錄 多變量函數(shù)積分給出的變分問題
參考文獻
第七講 從最小二乘法談起
1 可由最小二乘法求解的問題實例
……
第八講 駕馭偶然性
學生自擬論文題目選輯
第一講 數(shù)學模型、模式與文化
本書的首要目的是通過對若干數(shù)學模型和模式的介紹，探討什么是數(shù)學，如何看待數(shù)學的起源和特點，如何認識數(shù)學的抽象性和邏輯嚴密性，如何認識數(shù)學的真理性和實踐性，如何認識數(shù)學與其他人文及自然科學的關(guān)系，所涉及的模型和模式主要是作為討論問題所必須的媒介及傳達思想的載體。我們試圖從一個更基本的角度，和讀者一起探討數(shù)學的本質(zhì)，把握學習、研究和運用數(shù)學的關(guān)鍵，提高對數(shù)學的認識和素養(yǎng)。本書的第二個目的是在前述框架之下，盡可能介紹一些有用的數(shù)學知識，以滿足部分對數(shù)學本身要求較多的讀者之需要。但應說明，全書的內(nèi)容都保持在基本數(shù)學知識的范圍內(nèi)。
這一講是全書的緒論，試圖討論的主要內(nèi)容是如何從整體上認識與理解數(shù)學，如何看待數(shù)學與其他學科的關(guān)系。筆者認為：要掌握數(shù)學，不僅要熟悉數(shù)學特定的內(nèi)容、方法和語言，還要把握數(shù)學背后的哲學思想，養(yǎng)成正確的思維方式和恰當?shù)男睦頎顟B(tài)；對數(shù)學的正確認識不僅僅是一種看法、一種知識，它直接影響我們?nèi)绾螌W習與研究數(shù)學，追求什么樣的數(shù)學。本講的很多內(nèi)容應屬于數(shù)學哲學的討論范疇，也就是說不屬于數(shù)學本身，而是“關(guān)于數(shù)學”的各種說法。在一些人看來，這是一個費力不討好的題目，英國著名數(shù)學家、劍橋分析學派的代表人物哈代（G.H.Hardy）就曾直言不諱地說過：“一個職業(yè)數(shù)學家如果發(fā)現(xiàn)自己在寫關(guān)于數(shù)學的東西，一種憂傷之情將油然而生。數(shù)學家的職責是實干，證明新的定理，擴展數(shù)學知識，而不是津津樂道于自己或其他數(shù)學家已經(jīng)做過的事情。政治家瞧不起時事評論家，畫家瞧不起藝術(shù)批評家，生物學家、物理學家和數(shù)學家們通常也有類似的感情，沒有比實干者對評論家的蔑視更深刻、更有理了。解釋、批評、鑒賞是二等智力的活兒�！惫Q，他只是由于年逾花甲，不再擁有新鮮的智力和充沛的精力，無法從事充滿挑戰(zhàn)和創(chuàng)造活力的數(shù)學研究，才轉(zhuǎn)而來寫“關(guān)于數(shù)學”的文章。
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