第1章緒論
　　1.1緒論
　　盡管非相對論性量子力學可以對其適用的領(lǐng)域的問題進行合理的解釋，但對粒子能量極高并伴隨著粒子產(chǎn)生和湮沒的相對論系統(tǒng)卻無能為力.本節(jié)先從量子力學基本原理的角度說明它的不足，然后對狹義相對論進行一個回顧，因為對于能量極高且速度接近光速的粒子來說，狹義相對論是一個必要的理論框架.
　　當我們學習經(jīng)典或非相對論系統(tǒng)時，拉氏量形式都是一個合適的框架.另外，它在對系統(tǒng)對稱性的討論中尤其方便，因此本章還將回顧從質(zhì)點力學到場論的*小作用量原理以及拉氏量形式.作為后面章節(jié)的鋪墊，還將討論Lagrange場論中的對稱性與守恒律.
　　1.1.1量子場論的必要性
　　我們已經(jīng)學過非相對論性量子力學，它可以很好地解決原子甚至亞原子尺度的涉及微觀粒子的一些物理問題.那么為什么我們需要一個相對論性的場論呢？一方面，我們所研究的高能物理領(lǐng)域，很多粒子速度極高，相對論的引入就很必要了;另一方面，該領(lǐng)域的物理現(xiàn)象通常伴隨著粒子的產(chǎn)生和湮沒，非相對論量子力學是無能為力的，而量子場論的引入則可以描述粒子數(shù)變化的過程，這將在后面的章節(jié)中討論.下面我們先來討論非相對論量子力學在這一點的局限性.
　　在非相對論量子力學中，Schr.odinger方程包含了粒子數(shù)守恒，這從下面的推導中可以看出.Schr.odinger方程給出
　　(1-1)
　　利用哈密頓量的厄米性(Hermitian)，取復共軛得到
　　(1-2)
　　兩式相減得
　　(1-3)
　　因此Zd3x(.y.)是不隨時間變化的.換句話說，粒子數(shù)守恒，沒有粒子產(chǎn)生或湮沒.但同時，利用正則對易關(guān)系
　　(1-4)
　　可以得到Heisenberg不確定關(guān)系
　　(1-5)
　　相對論將動量和能量用質(zhì)能關(guān)系聯(lián)系起來，即
　　(1-6)
　　因此能量的不確定度為
　　(1-7)
　　為了避免新粒子的產(chǎn)生，我們要求△E6mc2.于是得到了坐標不確定度△x的下限
　　(1-8)
　　下面分兩種情況討論.
　　(a)非相對論粒子.速度遠小于光速c，即
　　(1-9)
　　所以△x并無太大限制.波函數(shù)的概率詮釋說明j.(x)j2是在點x附近d3x的體積內(nèi)觀察到粒子的概率密度.換句話說，粒子可以局限在任意小的一個空間范圍內(nèi).
　　(b)相對論粒子.在這種情況下，有
　　(1-10)
　　因此
　　(1-11)
　　也就是說，粒子不能居于一個比Compton波長~mc小的空間尺度內(nèi).反過來說，在比Compton波長小的空間尺度內(nèi)，將不可避免地產(chǎn)生新的粒子.
　　標量場和旋量場的非相對論性波動方程是Klein-Gordon方程和Dirac方程.下面兩章將會詳細討論Klein-Gordon方程和Dirac方程作為單粒子波動方程所產(chǎn)生的困難，包括負幾率和負能量問題，及對應(yīng)場量子化是如何解決這些困難的.此處以Klein佯謬為例說明這個問題.
　　Klein佯謬
　　Klein-Gordon方程為
　　(1-12)
　　其中，m為質(zhì)量.它是*簡單的相對論性波動方程.考慮一個階躍勢壘V0>0(圖1-1)，
　　波函數(shù)的解為
　　(1-13)
　　其中
　　(1-14)
　　圖1-1階躍勢壘
　　波函數(shù)在邊界x=0處的連續(xù)性條件
　　(1-15)
　　給出
　　(1-16)
　　由上式可求得R和T分別為
　　(1-17)
　　在非相對論情形中，如果E>V0+m，則p1與p2均為實數(shù)，既有透射也有反射;如果E2m且能量在m0的地方發(fā)現(xiàn)有粒子傳播.這個結(jié)果稱為Klein佯謬.這只能由在階躍勢壘處產(chǎn)生了新粒子來解釋.
　　1.1.2自然單位制
　　高能物理中為方便起見通常取自然單位制，即
　　(1-18)
　　在國際單位制中
　　(1-19)
　　因此，在自然單位制中就意味著能量的量綱為[時間].1.同樣地，光速
　　(1-20)
　　所以c=1意味著時間和長度有著相同的量綱.在計算的*終結(jié)果中，通常需采用國際單位制，所以需要將~和c的數(shù)值代回.需要注意，在不同的場合下同一物理量可能有不同的意義.比如，質(zhì)量就可能有如下幾種情況:
　　(a)[長度].1
　　(1-21)
　　(b)[時間].1
　　(1-22)
　　(c)能量
　　(1-23)
　　(d)動量
　　(1-24)
　　另外，高能物理中常用eV和cm作為能量和長度的單位，因此下面的轉(zhuǎn)換關(guān)系非常有用
　　(1-25)
　　例1-1(a)Thomson散射截面.
　　(1-26)
　　在這個例子中，我們知道散射截面的量綱應(yīng)為[長度]2，而這個公式中**出現(xiàn)的有量綱的物理量為me，所以此處實際上是上文對質(zhì)量me討論的情況(a)，即me為[長度].1的情況.因此，需要利用因子hc將量綱轉(zhuǎn)換為我們需要的面積的量綱.首先在自然單位制中計算
　　(1-27)
　　然后乘以因子()將面積單位轉(zhuǎn)換為cm2，即
　　(1-28)
　　(b)W玻色子的衰變率.
　　標準模型中反應(yīng)W→eo的衰變率為
　　(1-29)
　　其中，MW=80:4GeV/c2是W玻色子的質(zhì)量;GF=1:166×10.5GeV.2是弱作用耦合常數(shù).首先在自然單位制中計算
　　(1-30)
　　然后除以因子~得到正確的單位
　　(1-31)
　　(c)中微子截面.
　　對一個準彈性中微子散射o1+e→ +oe，低能的截面為
　　(1-32)
　　其中，E為中微子的能量.我們來計算E=10GeV的情況.首先在自然單位制中計算
　　(1-33)
　　現(xiàn)在利用轉(zhuǎn)換因子hc=1:973×10.11MeV.cm得到面積的量綱
　　(1-34)
　　順便提一句，這是一個很小的反應(yīng)截面，說明中微子幾乎不與有很多電子的物質(zhì)發(fā)生作用，所以它可以傳播很遠而不受其他物質(zhì)的影響;而且在低能的情況下，截面隨能量增加而增大.
　　(d)將牛頓萬有引力常數(shù)
　　(1-35)
　　轉(zhuǎn)換到Planck能標，則有
　　(1-36)
　　利用
　　(1-37)
　　可以得到
　　(1-38)
　　所以
　　(1-39)
　　又因為
　　(1-40)
　　所以
　　(1-41)
　　利用轉(zhuǎn)換因子
　　(1-42)
　　*終得到
　　(1-43)
　　這就是我們通常所說的與引力相關(guān)的Planck能標，約為1019GeV，這幾乎是高能領(lǐng)域里**的能標.它的另一種表達方式為
　　(1-44)