從這一章開始我們將要介紹泛函分析。泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學中的一個較新的重要分支。它起源于經(jīng)典數(shù)學物理中的變分問題、邊值問題，概括了經(jīng)典數(shù)學分析、函數(shù)論中的某些重要概念、問題和成果，又受到量子物理學、現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代力學的有力刺激。它綜合地運用分析的、代數(shù)的和幾何的觀點和方法，研究分析數(shù)學、現(xiàn)代物理和現(xiàn)代工程技術(shù)提出的許多問題。從本世紀中葉開始，偏微分方程理論，概率論（特別是隨機過程理論）以及一部分計算數(shù)學，由于運用了泛函分析而得到了大發(fā)展�，F(xiàn)在，泛函分析的概念和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、理論物理及現(xiàn)代工程技術(shù)理論的許多分支，如微分方程、概率論、計算數(shù)學、量子場論、統(tǒng)計物理學、抽象調(diào)和分析、現(xiàn)代控制理論、大范圍微分幾何學等方面。現(xiàn)在泛函分析對純粹數(shù)學及應(yīng)用數(shù)學中的影響，好像本世紀初葉集論、點集論對后來數(shù)學的影響那樣。同時泛函分析本身也不斷地深入發(fā)展。例如算子譜理論以及各種表示理論已經(jīng)達到相當深入的程度。

　　泛函分析大體分為線性泛函分析和非線性泛函分析兩大部分，線性泛函分析比起非線性泛函分析來說要成熟得多，也更基本一些，這是自然的。一般來說，因為對于數(shù)學和數(shù)學物理中許多問題，人們大抵都是先作一次近似把它“線性化”；而線性問題總是比非線性問題容易研究得多，因而迄今所獲得的成果也就要豐富得多。本書中除個別地方外幾乎全部討論線性泛函分析。