第六章 帶度量的線性空間………………………………………… 1 §1 歐幾里得空間的定義和基本性質(zhì) …………………………… 1 1. 歐幾里得空間的定義………………………………………… 1 2. 有限維的歐氏空間 ………………………………………… 5 3. 正交補(bǔ) …………………………………………………… 13 習(xí)題一 ……………………………………………………… 14 §2 歐幾里得空間中的特殊線性變換 …………………………… 18 1. 正交變換 ………………………………………………… 18 2. 對稱變換 ………………………………………………… 26 3. 用正交矩陣化實對稱矩陣成對角形…………………………… 30 習(xí)題二 ……………………………………………………… 39 §3 酉空間 …………………………………………………… 43 1. 酉空間的基本概念 ………………………………………… 43 2. 酉變換 …………………………………………………… 48 3. 正規(guī)變換與埃爾米特變換…………………………………… 49 習(xí)題三 ……………………………………………………… 55 *§4 四維時空空間與辛空間 …………………………………… 58 1. 四維時空空間的度量 ……………………………………… 59 2. 辛空間 …………………………………………………… 64 習(xí)題四 ……………………………………………………… 70 本章小結(jié)………………………………………………………… 72 第七章 線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ……………………………… 74 §1 冪零線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ……………………………… 74 1. 循環(huán)不變子空間 …………………………………………… 75 2. 冪零線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ……………………………… 78 習(xí)題一 ……………………………………………………… 81 §2 一般線性變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 ……………………………… 83 1. 若爾當(dāng)塊與若爾當(dāng)形 ……………………………………… 83 2. 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的存在性 …………………………………… 84 3. 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性 …………………………………… 87 4. 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計算方法…………………………………… 91 習(xí)題二 ……………………………………………………… 92 §3 最小多項式………………………………………………… 95 1. 方陣的化零多項式 ………………………………………… 95 2. 方陣的最小多項式 ………………………………………… 97 習(xí)題三 …………………………………………………… 102 *§4 矩陣函數(shù) ………………………………………………… 104 1. 矩陣序列的極限 ………………………………………… 104 2. 矩陣函數(shù) ……………………………………………… 106 3. 歐氏空間中的旋轉(zhuǎn) ……………………………………… 117 習(xí)題四 …………………………………………………… 119 本章小結(jié) ……………………………………………………… 122 第八章 有理整數(shù)環(huán)……………………………………………… 124 §1 有理整數(shù)環(huán)的基本概念 …………………………………… 124 1. 整除性理論 ……………………………………………… 125 2. 有理整數(shù)環(huán)的理想 ……………………………………… 127 3. 因子分解唯一定理 ……………………………………… 130 習(xí)題一 …………………………………………………… 132 §2 同余式 …………………………………………………… 133 1. 歐拉函數(shù) ……………………………………………… 135 2. 中國剩余定理 …………………………………………… 138 習(xí)題二 …………………………………………………… 139 §3 模m 的剩余類環(huán) ………………………………………… 140 習(xí)題三 …………………………………………………… 142 本章小結(jié) ……………………………………………………… 143 第九章 一元多項式環(huán)…………………………………………… 145 §1 一元多項式環(huán)的基本理論 ………………………………… 145 1. 整除理論 ……………………………………………… 148 2. K[x]內(nèi)的理想 ………………………………………… 151 3. 在線性代數(shù)中的應(yīng)用……………………………………… 154 4. 因式分解唯一定理 ……………………………………… 155 5. 重因式 ………………………………………………… 158 6. 中國剩余定理 …………………………………………… 161 習(xí)題一 …………………………………………………… 166 §2 C,R,Q上多項式的因式分解 …………………………… 169 1. C[x]與R[x]內(nèi)多項式的因式分解………………………… 169 2. Q[x]內(nèi)多項式的因式分解………………………………… 171 3. Z[x]內(nèi)多項式的因式分解………………………………… 174 習(xí)題二 …………………………………………………… 177 *§3 實系數(shù)多項式根的分布 …………………………………… 179 習(xí)題三 …………………………………………………… 184 *§4 單變量有理函數(shù)域 ……………………………………… 185 1. 單變量有理函數(shù)域的定義 ………………………………… 185 2. 有理分式分解為準(zhǔn)素分式 ………………………………… 188 習(xí)題四 …………………………………………………… 191 §5 群、環(huán)和域的基本概念 …………………………………… 192 1. 群的基本概念 …………………………………………… 192 2. 環(huán)和域的基本概念 ……………………………………… 196 習(xí)題五 …………………………………………………… 200 本章小結(jié) ……………………………………………………… 201 第十章 多元多項式環(huán)…………………………………………… 204 §1 多元多項式環(huán)的基本概念 ………………………………… 204 1. 整除性與因式分解 ……………………………………… 209 2. 多變量有理函數(shù)域 ……………………………………… 210 習(xí)題一 …………………………………………………… 211 §2 對稱多項式 ……………………………………………… 213 習(xí)題二 …………………………………………………… 222 §3 結(jié)式……………………………………………………… 223 1. 結(jié)式的概念 ……………………………………………… 223 2. 結(jié)式的計算 ……………………………………………… 225 習(xí)題三 …………………………………………………… 231 本章小結(jié) ……………………………………………………… 232 *第十一章 n 維仿射空間與n 維射影空間 …………………… 233 §1 n 維仿射空間 …………………………………………… 233 1. Rn 內(nèi)的仿射變換與正交變換 ……………………………… 235 2. Rn 中二次超曲面的分類…………………………………… 238 3. 多元函數(shù)的極值 ………………………………………… 243 習(xí)題一 …………………………………………………… 247 §2 n 維射影空間 …………………………………………… 248 習(xí)題二 …………………………………………………… 256 *第十二章 張量積與外代數(shù) …………………………………… 257 §1 多重線性映射 …………………………………………… 257 1. 線性空間的對偶空間……………………………………… 257 2. 多重線性映射 …………………………………………… 259 習(xí)題一 …………………………………………………… 262 §2 線性空間的張量積 ……………………………………… 263 1. 張量積的定義 …………………………………………… 263 2. 線性變換的張量積 ……………………………………… 268 習(xí)題二 …………………………………………………… 269 §3 張量……………………………………………………… 270 1. 張量的基本概念 ………………………………………… 270 2. 張量的加法和乘法 ……………………………………… 273 習(xí)題三 …………………………………………………… 274 §4 外代數(shù) …………………………………………………… 275 習(xí)題四 …………………………………………………… 284 習(xí)題答案與提示…………………………………………………… 287