本書(shū)是由鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院《常微分方程》課程組三位教師經(jīng)多年課程教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合當(dāng)前現(xiàn)有的《常微分方程》教材編寫(xiě)而成。依據(jù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《常微分方程》課程教學(xué)要求，參照近年來(lái)《常微分方程》課程教學(xué)改革實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)成果，在課程內(nèi)容，模型背景介紹，方法的應(yīng)用，知識(shí)點(diǎn)歸納梳理，例題習(xí)題分級(jí)等方面做了細(xì)心的安排，全書(shū)結(jié)構(gòu)清晰，注重定理的敘述和證明的思想方法和知識(shí)延拓，內(nèi)容通俗易懂，同時(shí)堅(jiān)持以學(xué)生產(chǎn)出為導(dǎo)向，關(guān)注學(xué)科發(fā)展沿革，體現(xiàn)學(xué)科的先進(jìn)性、前沿性和時(shí)代性，持續(xù)創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容，拓展課程教學(xué)資源，增強(qiáng)課程內(nèi)容的親和力、感染力和說(shuō)服力，適應(yīng)當(dāng)前的本科《常微分方程》課程的教學(xué)。 本書(shū)內(nèi)容主要包括紹常微分方程的基本概念、一階常微分方程的初等積分法、一階常微分方程解的基本定理，高階微分方程和微分方程組理論（重點(diǎn)是高階常系數(shù)線性方程和方程組的求解方法）、非線性方程的定性和穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介六個(gè)模塊共六章內(nèi)容。 每小節(jié)配有知識(shí)點(diǎn)講解的視頻和適量不同難度系數(shù)的習(xí)題；每章配有根據(jù)教學(xué)大綱編制的不同類(lèi)型題目的自測(cè)題；同時(shí)還編寫(xiě)了習(xí)題和章節(jié)自測(cè)題詳細(xì)的參考答案以及配套的作業(yè)本和思考題本，用于線下教學(xué)過(guò)程中教師及時(shí)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)生情況使用。 本書(shū)可供師范院校和綜合性高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)等常微分方程課程的教材，也可作為各高校數(shù)學(xué)模型課程的參考資料。

劉兵 ---------------------------- 劉兵，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)、教授，鞍山師范學(xué)院重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的責(zé)任教授。獲得省優(yōu)秀教師1人次，入選遼寧省“百千萬(wàn)人才工程”百人層次人選1人，獲遼寧省青年科技獎(jiǎng)1人、遼寧省優(yōu)秀科技工作者1人、校級(jí)青年教師教學(xué)優(yōu)秀獎(jiǎng)2人次、校級(jí)教學(xué)質(zhì)量?jī)?yōu)秀獎(jiǎng)1次，1人被認(rèn)定為鞍山市“鋼都英才計(jì)劃”C類(lèi)領(lǐng)軍人才，指導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、全國(guó)和省級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽等，多次獲得國(guó)家、省級(jí)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)。主持教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目：金課背景下“常微分方程”課程建設(shè)研究，“常微分方程”獲批遼寧省本科一流課程（線下），獲批鞍山師范學(xué)院教學(xué)建設(shè)與改革網(wǎng)絡(luò)資源建設(shè)與專(zhuān)項(xiàng)1項(xiàng)校(“常微分方程”視頻課（專(zhuān)業(yè)課））。 劉雙 ---------------------------- 劉雙，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院教師，長(zhǎng)期從事常微分方程課程教學(xué)，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠淘诜N群模型中的應(yīng)用。 劉敬娜 ---------------------------- 劉敬娜，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院教師，長(zhǎng)期從事常微分方程課程教學(xué)，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠淘诜N群模型中的應(yīng)用。

第一章 緒論 …………………………………………………………………………………… 1 §1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1 §1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8 1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8 1.2.2 線性和非線性微分方程 ………………………………………………… 9 1.2.3 顯式解和隱式解 ………………………………………………………… 9 1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9 1.2.5 積分曲線 ……………………………………………………………… 10 習(xí)題1.2 ………………………………………………………………………… 11 §1.3 常微分方程發(fā)展歷史 …………………………………………………………… 12 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 13 第二章 一階微分方程的初等積分法 ……………………………………………………… 14 §2.1 變量分離方程 …………………………………………………………………… 14 2.1.1 變量分離方程 ………………………………………………………… 14 2.1.2 顯式形式變量分離方程的解法 ……………………………………… 15 2.1.3 微分形式變量分離方程的解法 ……………………………………… 17 習(xí)題2.1 ………………………………………………………………………… 17 §2.2 齊次微分方程與變量變換法 …………………………………………………… 18 2.2.1 齊次微分方程 ………………………………………………………… 18 2.2.2 形如dy dx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0)的方程 …………………… 20 2.2.3 形如dy dx=f a1x+b1y+c1 a2x+b2y+c2 的方程 ………………………………… 21 2.2.4 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23 習(xí)題2.2 ………………………………………………………………………… 24 §2.3 線性微分方程與常數(shù)變易法 …………………………………………………… 24 2.3.1 一階非齊次線性微分方程的通解 …………………………………… 25 2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28 習(xí)題2.3 ………………………………………………………………………… 30 §2.4 恰當(dāng)微分方程與積分因子 ……………………………………………………… 31 2.4.1 恰當(dāng)微分方程 ………………………………………………………… 31 2.4.2 積分因子 ……………………………………………………………… 36 習(xí)題2.4 ………………………………………………………………………… 40 §2.5 一階隱式微分方程與參數(shù)表示 ………………………………………………… 41 2.5.1 可解出y'的方程 ……………………………………………………… 41 2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41 2.5.3 不顯含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45 習(xí)題2.5 ………………………………………………………………………… 47 §2.6 一階微分方程的應(yīng)用 …………………………………………………………… 47 2.6.1 人口問(wèn)題 ……………………………………………………………… 47 2.6.2 雪球融化問(wèn)題 ………………………………………………………… 48 2.6.3 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 …………………………………………………………… 49 2.6.4 化學(xué)反應(yīng)問(wèn)題 ………………………………………………………… 50 2.6.5 流體混合問(wèn)題 ………………………………………………………… 51 習(xí)題2.6 ………………………………………………………………………… 53 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 53 本章自測(cè)題 ……………………………………………………………………………… 54 第三章 一階微分方程解的存在唯一性定理 ……………………………………………… 55 §3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法 …………………………………………… 55 3.1.1 存在唯一性定理 ……………………………………………………… 55 3.1.2 近似計(jì)算和誤差估計(jì) ………………………………………………… 61 習(xí)題3.1 ………………………………………………………………………… 62 §3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63 3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63 3.2.2 比較定理 ……………………………………………………………… 66 習(xí)題3.2 ………………………………………………………………………… 67 §3.3 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理 ……………………………………………… 68 習(xí)題3.3 ………………………………………………………………………… 71 §3.4 奇解與包絡(luò) ……………………………………………………………………… 72 3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72 3.4.2 不存在奇解的判別法 ………………………………………………… 73 3.4.3 奇解的求法及包絡(luò) …………………………………………………… 73 3.4.4 克萊羅微分方程 ……………………………………………………… 75 習(xí)題3.4 ………………………………………………………………………… 77 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 78 本章自測(cè)題 ……………………………………………………………………………… 78 第四章 高階微分方程 ……………………………………………………………………… 80 §4.1 線性微分方程的一般理論 ……………………………………………………… 80 4.1.1 線性微分方程的概念和解的存在唯一性定理 ……………………… 80 4.1.2 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) ……………………………… 81 4.1.3 非齊次線性微分方程的解結(jié)構(gòu)和常數(shù)變易法 ……………………… 86 習(xí)題4.1 ………………………………………………………………………… 90 §4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法 …………………………………………………… 91 4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解 …………………………………………………… 91 4.2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程 …………………………………………… 93 4.2.3 歐拉方程 ……………………………………………………………… 97 習(xí)題4.2 ………………………………………………………………………… 98 §4.3 常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法 …………………………………… 99 4.3.1 類(lèi)型Ⅰ:非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)之積的情形 ……………… 99 4.3.2 類(lèi)型Ⅱ:非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)乘積的情形 …… 102 習(xí)題4.3 ……………………………………………………………………… 104 §4.4 拉普拉斯變換法 ……………………………………………………………… 104 4.4.1 拉普拉斯變換的定義和性質(zhì) ………………………………………… 105 4.4.2 用拉普拉斯變換求解初值問(wèn)題 ……………………………………… 107 習(xí)題4.4 ……………………………………………………………………… 109 §4.5 高階微分方程的降階解法 …………………………………………………… 109 4.5.1 方程不顯含未知函數(shù)y ……………………………………………… 110 4.5.2 不顯含自變量x 的方程……………………………………………… 110 4.5.3 恰當(dāng)微分方程和積分因子 …………………………………………… 111 4.5.4 齊次線性微分方程 …………………………………………………… 112 習(xí)題4.5 ……………………………………………………………………… 114 *§4.6 冪級(jí)數(shù)解法大意 ……………………………………………………………… 114 習(xí)題4.6 ……………………………………………………………………… 119 *§4.7 高階微分方程的應(yīng)用 ………………………………………………………… 119 4.7.1 數(shù)學(xué)擺運(yùn)動(dòng) …………………………………………………………… 119 4.7.2 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng) ……………………………………………………………… 122 習(xí)題4.7 ……………………………………………………………………… 127 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 127 本章自測(cè)題 ……………………………………………………………………………… 128 第五章 微分方程組 ………………………………………………………………………… 129 §5.1 微分方程組的概念及解的存在唯一性定理 ………………………………… 129 習(xí)題5.1 ……………………………………………………………………… 132 §5.2 線性微分方程組的一般理論 ………………………………………………… 133 5.2.1 齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu) ……………………………………… 135 5.2.2 非齊次線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)和常數(shù)變易法 …………………… 141 習(xí)題5.2 ……………………………………………………………………… 143 §5.3 常系數(shù)線性微分方程組的解法 ……………………………………………… 145 5.3.1 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì) ………………………………………… 145 5.3.2 常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣 …………………………… 146 5.3.3 基解矩陣的求法 ……………………………………………………… 147 5.3.4 常系數(shù)非齊次線性微分方程組的求解 ……………………………… 155 習(xí)題5.3 ……………………………………………………………………… 157 §5.4 拉普拉斯變換法 ……………………………………………………………… 158 習(xí)題5.4 ……………………………………………………………………… 161 §5.5 微分方程組的消元法和首次積分法 ………………………………………… 162 5.5.1 微分方程組的消元法 ………………………………………………… 162 5.5.2 微分方程組的首次積分法 …………………………………………… 164 習(xí)題5.5 ……………………………………………………………………… 166 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) …………………………………………………………………………… 166 本章自測(cè)題 ……………………………………………………………………………… 167 第六章 定性和穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介 …………………………………………………………… 168 §6.1 穩(wěn)定性概念和例子 …………………………………………………………… 168 習(xí)題6.1 ……………………………………………………………………… 173 §6.2 李雅普諾夫第二方法 ………………………………………………………… 173 習(xí)題6.2 ……………………………………………………………………… 178 §6.3 平面定性理論簡(jiǎn)介 …………………………………………………………… 178 6.3.1 相平面、 軌線與相圖 ………………………………………………… 178 6.3.2 平面自治系統(tǒng)的基本性質(zhì) …………………………………………… 180 6.3.3 常點(diǎn)、 奇點(diǎn)、 閉軌 …………………………………………………… 181 6.3.4 平面線性系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布 …………………………… 181 6.3.5 平面非線性系統(tǒng)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布 ………………………… 187 6.3.6 平面自治系統(tǒng)的極限環(huán) ……………………………………………… 188 習(xí)題6.3 ……………………………………………………………………… 194 習(xí)題和自測(cè)題參考答案 ……………………………………………………………………… 195 參考文獻(xiàn) ……………………………………………………………………………………… 197