將近50年前，一位美國批評家評論了李（Marius Sophus Lie，1842-1899年）在1888年發(fā)表的《變換群論》第一卷，用如下評述給他自己，同時也給我們奠定了基調。
　　可能其他任何一門學科都不會像數學那樣，在研習與不研習它的人面前呈現(xiàn)出如此截然不同的面貌。對于不研習它的人來說，它古老、莊重而完整，是一個枯燥、無可辯駁、毫不含混的理論體系。而另一方面，對于數學家來說，這門學科卻仿佛怒放的鮮花一般生機勃勃，它的分支隨處伸展，追隨著那些“可以獲致卻尚未獲得”的知識，充滿了新思想帶來的刺激；它的邏輯深受非確定性的困擾；它的分析過程如同約翰·班揚①的道路，一邊是沼澤，另一邊是深淵；它不計其數的旁枝一直延伸到蠻荒之地的邊緣。②
　　我們一旦超越了最基礎的層次，可能就會同意，與那些對數學僅僅懷有敬畏之心的人相比，那些研習數學的人描述的事件更為精彩。因此，我們將跟隨那些研習者，探索這條約翰·班揚之路，追溯數學的發(fā)展歷程。如果我們有時候沒有注意怒放的鮮花，那是因為我們需要全心全意地投入，以免失足落入深淵，或者在細枝末節(jié)的糾纏中誤入蠻荒之地，以致誤以為那就是數學本身或者是它的歷史。至于用玫瑰重新裝飾數學木乃伊的臉頰這些困難而又精細的工作，就留給文物研究者吧。
　　在后面的章節(jié)中，我們將根據兩個因素決定材料的選取。第一個因素是回應許多與我聯(lián)系的人（其中主要是大學生和學生導師）的要求，為他們提供一份數學發(fā)展歷史的綜合而廣泛的記述，著重援引那些在數學發(fā)展的過程中或多或少存留下來的主要概念和方法。第二個因素則是若干年來我與一些數學家的個人聯(lián)系——他們在純數學和應用數學分支都進行過創(chuàng)造性的工作。
　　他們想要的不是一部傳統(tǒng)意義上的數學史，而是一部記述在數學發(fā)展史上產生關鍵作用的時代的著作。本書將用很大一部分篇幅進行學術性探討，探尋為什么某些東西始終吸引著數學家、工程技術人員和科學工作者的興趣，而其他東西卻無人理會，或者被認為不再具有重要意義而遭到擯棄；與此同時，本書將盡可能回避過多的細節(jié)。許多計劃學習數學只到微積分為止的人，或者在某種情況下計劃學得更少一些的人，希望了解在17世紀思想界的杰出里程碑之后，有關數學一般發(fā)展的知識，作為他們的文化教育的一部分。而那些希望繼續(xù)學習數學、科學或工程學的人也希望能從專業(yè)層面上學習更廣泛的知識。他們還給出了兩個額外的原因，其中第二個對每位職業(yè)教師都特別有益。他們相信，如果大致了解一下現(xiàn)存數學循之演變而來的主要方向，他們就可以更加明智地決定從哪一個數學領域獲得持久的滿足一一如果有一個的話。
　　年輕一代在成長中已經厭倦了聽人說教、指示他們應該如何思考和尊敬什么，他們提出這種要求的第二個原因很有自己的特色。這些年輕批評家對他們未來的教育者們很坦率；他們希望能夠對別人答應教導他們的領域進行簡單的個人探索——即使只是遠遠地眺望一下，以便抵擋那些誘騙他們上當的“二道販子”的甜言蜜語，讓那些趁學生們不熟悉行情，向他們隨意兜售手中物品的陰謀無法得逞。自從1873年以來，我們似乎走過了很長的路；那時候，學究式的英國數學歷史學家和不知疲倦的枯燥教科書制造者艾薩克·托德亨特（Isaac Todhunter，1820-1884年）提出了狂熱盲從支撐下的順從模式，作為知識分子應該遵從的準則：